21. Решите уравнение, используя введение новой переменной: а) (2x² + 3)² − 12(2x² + 3) + 11 = 0; б) (t² − 2t)² − 3 = 2(t² − 2t); в) (x² + x − 1)(x² + x + 2) = 40; г) (2x² + x − 1)(2x² + x − 4) + 2 = 0.

а) Введём новую переменную \(u=2x^2+3\). Тогда \(u^2-12u+11=0\), откуда \((u-1)(u-11)=0\), то есть \(u=1\) или \(u=11\). Но \(2x^2+3\ge3\), поэтому \(u=1\) невозможно. При \(u=11\): \(2x^2+3=11\), следовательно, \(x^2=4\) и \(x=\pm2\).

б) Пусть \(u=t^2-2t\). Получаем \(u^2-3=2u\), или \(u^2-2u-3=0\), откуда \(u=3\) или \(u=-1\). Если \(u=3\), то \(t^2-2t=3\), значит, \((t-3)(t+1)=0\), и \(t=3,-1\). Если \(u=-1\), то \(t^2-2t=-1\), то есть \((t-1)^2=0\), и \(t=1\).

в) Обозначим \(u=x^2+x\). Тогда \((u-1)(u+2)=40\), откуда \(u^2+u-42=0\), то есть \((u+7)(u-6)=0\). При \(u=6\): \(x^2+x-6=0\), корни \(x=2,-3\). При \(u=-7\): \(x^2+x+7=0\), действительных корней нет, поскольку дискриминант \(1-28<0\).

г) Пусть \(u=2x^2+x\). Тогда \((u-1)(u-4)+2=0\), то есть \(u^2-5u+6=0\), откуда \(u=2\) или \(u=3\). При \(u=2\): \(2x^2+x-2=0\), поэтому \(x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}4\). При \(u=3\): \(2x^2+x-3=0\), откуда \(x=1\) или \(x=-\frac32\).

Ответ: а) \(x=\pm2\); б) \(t=-1,1,3\); в) \(x=2,-3\); г) \(x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}4,1,-\frac32\).