24. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и BK. Докажите, что углы AHK и ABK равны.

Краткое пояснение:

Чтобы доказать равенство углов \( ∠ AHK \) и \( ∠ ABK \), мы рассмотрим четырехугольник \( ABKH \). Если мы сможем доказать, что этот четырехугольник является вписанным в окружность, то равенство углов будет следовать из свойства вписанных углов, опирающихся на одну дугу.

Пошаговое доказательство:

1. В треугольнике \( ABC \) проведены высоты \( AH \) и \( BK \). По определению высоты, \( AH ⊥ BC \) и \( BK ⊥ AC \).
2. Это означает, что углы \( ∠ BHA = 90^° \) и \( ∠ AKB = 90^° \).
3. Рассмотрим четырехугольник \( ABKH \).
4. В этом четырехугольнике мы имеем два прямых угла: \( ∠ BHA \) и \( ∠ AKB \).
5. Сумма противоположных углов \( ∠ BHA + ∠ AKB = 90^° + 90^° = 180^° \).
6. По признаку вписанного четырехугольника, если сумма противоположных углов четырехугольника равна \( 180^° \), то этот четырехугольник является вписанным в окружность.
7. Следовательно, четырехугольник \( ABKH \) вписан в окружность.
8. Углы \( ∠ AHK \) и \( ∠ ABK \) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу \( AK \) окружности, описанной около четырехугольника \( ABKH \).
9. По свойству вписанных углов, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
10. Таким образом, \( ∠ AHK = ∠ ABK \).