22. Постройте график функции $$y = \begin{cases} \frac{x^2+1}{x} & \text{при } x \ge -1 \\ -\frac{4}{x} & \text{при } x < -1 \end{cases}$$ Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y = \begin{cases} \frac{x^2+1}{x} & \text{при } x \ge -1 \\ -\frac{4}{x} & \text{при } x < -1…$ Фото задания

22. Постройте график функции $$y = \begin{cases} \frac{x^2+1}{x} & \text{при } x \ge -1 \\ -\frac{4}{x} & \text{при } x < -1 \end{cases}$$ Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Решение:

Построим график функции по частям.

1. Функция $ y = \frac{x^2+1}{x} $ при $ x ≥ -1 $.

Перепишем функцию: $ y = x + \frac{1}{x} $. Найдем производную: $ y' = 1 - \frac{1}{x^2} $.

Приравняем производную к нулю: $ 1 - \frac{1}{x^2} = 0 ⇒ x^2 = 1 ⇒ x = \pm 1 $.

Учитывая область определения $ x ≥ -1 $, рассмотрим точки $ x = -1 $ и $ x = 1 $.

При $ x = -1 $, $ y = -1 + \frac{1}{-1} = -2 $. Точка $ (-1, -2) $.
При $ x = 1 $, $ y = 1 + \frac{1}{1} = 2 $. Точка $ (1, 2) $.
Рассмотрим поведение функции на границе области определения и при $ x → +∞ $.
При $ x → +0 $ (справа), $ y → +∞ $.
При $ x → +∞ $, $ y → +∞ $.
Найдем экстремумы: $ y'(x) $ при $ x > 0 $ отрицательна для $ 0 < x < 1 $ (убывает) и положительна для $ x > 1 $ (возрастает). Значит, $ x=1 $ — точка минимума. $ y_{min} = 2 $.
При $ x < 0 $ (но $ x ≥ -1 $, т.е. $ -1 ≤ x < 0 $). $ y' = 1 - \frac{1}{x^2} $ отрицательна для $ -1 ≤ x < 0 $ (убывает).
На интервале $ [-1, 0) $ функция убывает от -2 до $ -∞ $.

2. Функция $ y = -\frac{4}{x} $ при $ x < -1 $.

Это гипербола. При $ x = -1 $ (граница, не входит в область): $ y = -\frac{4}{-1} = 4 $. Точка $ (-1, 4) $ (выколотая).

При $ x → -∞ $, $ y → 0 $ (сверху).

На интервале $ (-∞, -1) $ функция возрастает от 0 до 4.

3. Определение числа точек пересечения с прямой $ y = m $.

Прямая $ y = m $ — горизонтальная линия.

Рассмотрим значения $ m $ и количество точек пересечения:

Если $ m > 4 $, прямая пересекает график в одной точке (часть $ y = x + \frac{1}{x} $).
Если $ m = 4 $, прямая пересекает график в одной точке (часть $ y = x + \frac{1}{x} $).
Если $ 2 < m < 4 $, прямая пересекает график в двух точках (часть $ y = x + \frac{1}{x} $).
Если $ m = 2 $, прямая пересекает график в двух точках (минимум $ y=2 $ и часть $ y = -\frac{4}{x} $ при $ x < -1 $).
Если $ 0 < m < 2 $, прямая пересекает график в двух точках (часть $ y = x + \frac{1}{x} $).
Если $ m = 0 $, прямая пересекает график в одной точке (часть $ y = -\frac{4}{x} $ при $ x < -1 $).
Если $ -2 < m < 0 $, прямая пересекает график в двух точках (часть $ y = -\frac{4}{x} $ при $ x < -1 $).
Если $ m = -2 $, прямая пересекает график в одной точке (точка $ (-1, -2) $).
Если $ m < -2 $, прямая пересекает график в одной точке (часть $ y = x + \frac{1}{x} $).

Ровно одна общая точка будет при $ m < -2 $, $ m = -2 $, $ m = 0 $ и $ m ≥ 4 $.

Ответ: $ m < -2, m = -2, m = 0, m ≥ 4 $.

Ответ:

Решение:

1. Функция \( y = \frac{x^2+1}{x} \) при \( x ≥ -1 \).

2. Функция \( y = -\frac{4}{x} \) при \( x < -1 \).

3. Определение числа точек пересечения с прямой \( y = m \).