Хорды AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB=12, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 8 и 6.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Пусть \( O \) — центр окружности, \( R \) — её радиус.

Для хорды \( AB \):

\( AB = 12 \).
Расстояние от центра до хорды равно 8. Проведём перпендикуляр \( OM \) к \( AB \). Тогда \( AM = MB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} · 12 = 6 \).
В прямоугольном треугольнике \( △ OMB \) по теореме Пифагора найдём радиус \( R \): \( R^2 = OM^2 + MB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \).
\( R = \sqrt{100} = 10 \).

Для хорды \( CD \):

Расстояние от центра до хорды равно 6. Проведём перпендикуляр \( ON \) к \( CD \). Тогда \( CN = ND = \frac{1}{2} CD \).
В прямоугольном треугольнике \( △ ONC \) по теореме Пифагора найдём \( CN \): \( CN^2 + ON^2 = R^2 \).
\( CN^2 + 6^2 = 10^2 \).
\( CN^2 + 36 = 100 \).
\( CN^2 = 100 - 36 = 64 \).
\( CN = \sqrt{64} = 8 \).
Длина хорды \( CD = 2 · CN = 2 · 8 = 16 \).

Ответ: 16.