В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажи, что площади треугольников AOB и COD равны.

Решение:

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По определению трапеции, \( AD ∥ BC \).

1. Доказательство подобия треугольников.

Рассмотрим треугольники \( △ AOD \) и \( △ COB \).

• Углы \( ∠ AOD \) и \( ∠ COB \) равны как вертикальные.
• Углы \( ∠ DAO \) и \( ∠ BCO \) равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC.
• Углы \( ∠ ADO \) и \( ∠ CBO \) равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BD.
• Следовательно, \( △ AOD ∳ △ COB \) по первому признаку подобия (по двум углам).

2. Отношение площадей подобных треугольников.

Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон.

\( \frac{S_{△ AOD}}{S_{△ COB}} = \frac{AO^2}{CO^2} = \frac{DO^2}{BO^2} = \frac{AD^2}{BC^2} \).

3. Равенство площадей треугольников.

Рассмотрим треугольники \( △ ABD \) и \( △ ACD \).

• Они имеют равные основания \( AD \) (общее основание трапеции).
• Высоты, проведённые из вершин \( B \) и \( C \) к основанию \( AD \) (или его продолжению), равны, так как они являются высотой трапеции.
• Следовательно, \( S_{△ ABD} = S_{△ ACD} \).

Каждый из этих треугольников состоит из двух меньших треугольников:

• \( S_{△ ABD} = S_{△ AOB} + S_{△ AOD} \).
• \( S_{△ ACD} = S_{△ COD} + S_{△ AOD} \).

Поскольку \( S_{△ ABD} = S_{△ ACD} \) и \( S_{△ AOD} \) — общая площадь, то \( S_{△ AOB} = S_{△ COD} \).

Доказано.