22. Периметр равнобедренного треугольника равен 50, а боковая сторона – 17. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Пусть \( a \) — боковая сторона, \( b \) — основание.

Периметр \( P = 2a + b \)

\( 50 = 2 · 17 + b \)

\( 50 = 34 + b \)

\( b = 50 - 34 = 16 \)

Теперь найдём высоту равнобедренного треугольника. Высота, проведённая к основанию, делит его пополам.

\[ h^2 + (\frac{b}{2})^2 = a^2 \]

\[ h^2 + (\frac{16}{2})^2 = 17^2 \]

\[ h^2 + 8^2 = 17^2 \]

\[ h^2 + 64 = 289 \]

\[ h^2 = 289 - 64 \]

\[ h^2 = 225 \]

\[ h = \sqrt{225} = 15 \]

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 \]

\[ S = 8 \cdot 15 = 120 \]

Ответ: 120