23. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 74, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна \( 90^{\circ} \). Если один острый угол равен \( 45^{\circ} \), то второй острый угол равен \( 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Значит, треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником. Катеты равны.

Пусть \( a \) — длина катета.

По теореме Пифагора:

\[ a^2 + a^2 = 74^2 \]

\[ 2a^2 = 5476 \]

\[ a^2 = \frac{5476}{2} \]

\[ a^2 = 2738 \]

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} a^2 \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2738 = 1369 \]

Ответ: 1369