22. Постройте график функции y = (5x - 8) / (5x² - 8x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Исходная функция: \( y = rac{5x - 8}{5x^2 - 8x} \)

Вынесем общий множитель \( x \) из знаменателя:

\( y = rac{5x - 8}{x(5x - 8)} \)

Заметим, что выражение \( 5x - 8 \) присутствует и в числителе, и в знаменателе. Мы можем сократить дробь, но при этом нужно учесть область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

\( x(5x - 8) ≠ 0 \)

Это означает, что \( x ≠ 0 \) и \( 5x - 8 ≠ 0 \), то есть \( x ≠ rac{8}{5} \) (или \( x ≠ 1.6 \)).

После сокращения получим:

\( y = rac{1}{x} \), при условии \( x ≠ 0 \) и \( x ≠ 1.6 \).

Таким образом, график функции — это гипербола \( y = rac{1}{x} \), но с двумя «выколотыми» точками: \( (0, ext{не существует}) \) и \( (1.6, rac{1}{1.6}) \), то есть \( (1.6, 0.625) \).

Теперь рассмотрим прямую \( y = kx \). Эта прямая проходит через начало координат \( (0,0) \).

Мы ищем такие значения \( k \), при которых прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции \( y = rac{1}{x} \) (с учетом ограничений).

Случай 1: Пересечение с основной частью графика \( y = rac{1}{x} \)

Приравниваем уравнения:

\( kx = rac{1}{x} \)

\( kx^2 = 1 \)

\( x^2 = rac{1}{k} \)

\( x = ± rac{1}{√{k}} \)

Для того чтобы существовали действительные решения, \( k \) должно быть положительным \( (k > 0) \). В этом случае мы получаем два пересечения.

Случай 2: Пересечение с «выколотыми» точками

Прямая \( y = kx \) проходит через точку \( (0,0) \). Эта точка не входит в график функции \( y = rac{1}{x} \) (так как \( x ≠ 0 \)).

Рассмотрим вторую «выколотую» точку: \( (1.6, 0.625) \). Если прямая \( y = kx \) проходит через эту точку, то:

\( 0.625 = k ⋅ 1.6 \)

\( k = rac{0.625}{1.6} = rac{625}{1600} = rac{25}{64} \).

При \( k = rac{25}{64} \), прямая \( y = rac{25}{64}x \) проходит через точку \( (1.6, 0.625) \), которая «выколота» из графика \( y = rac{1}{x} \). Это означает, что в этой точке нет пересечения.

Теперь нужно выяснить, сколько пересечений будет при \( k = rac{25}{64} \) с остальной частью графика \( y = rac{1}{x} \).

Подставим \( k = rac{25}{64} \) в уравнение \( x = ± rac{1}{√{k}} \):

\( x = ± rac{1}{√{rac{25}{64}}} = ± rac{1}{rac{5}{8}} = ± rac{8}{5} = ± 1.6 \).

Получаем два значения \( x \): \( x = 1.6 \) и \( x = -1.6 \).

Значение \( x = 1.6 \) недопустимо для графика функции \( y = rac{1}{x} \) (это «выколотая» точка). Значит, прямое пересечение в этой точке не произойдет.

Значение \( x = -1.6 \) допустимо. Таким образом, при \( k = rac{25}{64} \) прямая \( y = kx \) пересекает график \( y = rac{1}{x} \) ровно в одной точке (при \( x = -1.6 \)).

Случай 3: Точка, где знаменатель равен нулю, но числитель не равен нулю.

Рассмотрим точку \( x=0 \). В этой точке у функции \( y = rac{1}{x} \) вертикальная асимптота. Прямая \( y = kx \) проходит через \( (0,0) \). Эта точка не является частью графика \( y = rac{1}{x} \).

Случай 4: Пересечение с осью x (если бы она была частью графика)

Если бы график пересекал ось X (что не происходит для \( y = rac{1}{x} \)), это могло бы дать еще одну точку.

Итог:

Прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции, если она проходит через «выколотую» точку \( (1.6, 0.625) \). В этом случае \( k = rac{25}{64} \).

Также, если \( k \) очень велико (стремится к бесконечности), прямая будет приближаться к вертикальной оси, но не будет пересекать график в двух точках.

Рассмотрим случай, когда \( k \) положительно. Если \( k > 0 \), то \( x = ± rac{1}{√{k}} \). Мы имеем два пересечения, если оба \( x \) допустимы.

Если \( x = 1.6 \), то \( k = rac{25}{64} \). Это единственное значение \( k \), при котором одно из потенциальных пересечений приходится на «выколотую» точку, а другое — на существующую часть графика. Все остальные положительные \( k \) дадут два пересечения.

Ответ: k = 25/64