22. Постройте график функции y = (5x-8)/(5x²-8x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Упростим выражение функции:

\( y = \frac{5x-8}{5x^2-8x} = \frac{5x-8}{x(5x-8)} \)

При \( 5x-8 \neq 0 \), т.е. \( x \neq \frac{8}{5} \), функция упрощается до \( y = \frac{1}{x} \).

Область определения функции: \( x \neq 0 \) и \( x \neq \frac{8}{5} \).

График функции \( y = \frac{1}{x} \) — гипербола. Однако, из-за знаменателя \( 5x-8 \), точка \( x = \frac{8}{5} \) исключается из области определения. Значит, в точке \( x = \frac{8}{5} \) существует разрыв.

При \( x = \frac{8}{5} \), \( y = \frac{1}{\frac{8}{5}} = \frac{5}{8} \). Таким образом, на графике присутствует выколотая точка \( (\frac{8}{5}, \frac{5}{8}) \).

Теперь рассмотрим прямую \( y = kx \). Нам нужно найти такие \( k \), при которых прямая имеет ровно одну общую точку с графиком функции \( y = \frac{1}{x} \), учитывая выколотую точку.

Приравниваем \( \frac{1}{x} = kx \).

\( 1 = kx^2 \)

\( kx^2 - 1 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( x \).

Если \( k = 0 \), то \( -1 = 0 \), что невозможно. Значит, \( k \neq 0 \).

\( x^2 = \frac{1}{k} \)

\( x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}} \)

Для того чтобы было ровно одно решение, возможны два случая:

1. Уравнение \( kx^2 - 1 = 0 \) имеет одно решение. Это происходит, когда \( k=0 \), но мы уже исключили этот случай.
2. Одно из двух решений \( x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}} \) совпадает с абсциссой выколотой точки \( x = \frac{8}{5} \), а другое решение не существует (например, если \( k < 0 \)), или же одно из решений является \( x=0 \) (что невозможно, так как \( x \neq 0 \)).

Рассмотрим случай, когда одно из решений совпадает с \( x = \frac{8}{5} \).

Подставим \( x = \frac{8}{5} \) в уравнение \( kx^2 - 1 = 0 \):

\( k \left(\frac{8}{5}\right)^2 - 1 = 0 \)

\( k \frac{64}{25} = 1 \)

\( k = \frac{25}{64} \)

При \( k = \frac{25}{64} \), у нас будет одно решение \( x = \frac{8}{5} \), которое является выколотой точкой. Второе решение \( x = -\sqrt{\frac{1}{k}} = -\sqrt{\frac{25}{64}} = -\frac{5}{8} \) существует. Таким образом, при \( k = \frac{25}{64} \) будет одно пересечение с графиком (где \( x = -\frac{5}{8} \)).

Также, если \( k < 0 \), то \( x^2 = \frac{1}{k} \) не имеет действительных решений, что означает 0 точек пересечения.

Если \( k > 0 \), то \( x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}} \). Если \( k = \frac{25}{64} \), то \( x = \pm \frac{8}{5} \). Одно из них ( \( x = \frac{8}{5} \)) выколото, а другое \( x = -\frac{8}{5} \) — это точка пересечения. Следовательно, при \( k = \frac{25}{64} \) имеется одна точка пересечения.

Ответ: k = 25/64.