22. Постройте график функции: \( y = \begin{cases} 4x - 5, & x < 1, \\ -2.5x + 5, & 1 \le x \le 4, \\ x - 9, & x > 4. \end{cases} \) Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Построение графика:

1. Для \( x < 1 \): \( y = 4x - 5 \)

Это луч. Найдём значение \( y \) при \( x = 1 \) (граничная точка, не включается): \( y = 4(1) - 5 = -1 \). Точка (1, -1) — начало луча (выколотая).

Возьмём ещё одну точку, например, \( x = 0 \): \( y = 4(0) - 5 = -5 \). Точка (0, -5).

2. Для \( 1 \le x \le 4 \): \( y = -2.5x + 5 \)

Это отрезок. Найдём значения \( y \) на концах отрезка:

При \( x = 1 \): \( y = -2.5(1) + 5 = 2.5 \). Точка (1, 2.5) — начало отрезка (включается).

При \( x = 4 \): \( y = -2.5(4) + 5 = -10 + 5 = -5 \). Точка (4, -5) — конец отрезка (включается).

3. Для \( x > 4 \): \( y = x - 9 \)

Это луч. Найдём значение \( y \) при \( x = 4 \) (граничная точка, не включается): \( y = 4 - 9 = -5 \). Точка (4, -5) — начало луча (выколотая).

Возьмём ещё одну точку, например, \( x = 5 \): \( y = 5 - 9 = -4 \). Точка (5, -4).

Определение значений \( m \):

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых эта прямая пересекает график функции ровно в двух точках.

Рассмотрим значения \( y \) на участках:

• На первом луче \( y < -1 \)
• На отрезке \( -5 \le y \le 2.5 \)
• На втором луче \( y < -5 \) (начиная с \( x > 4 \), значение \( y = -5 \) не включается, а при \( x=4 \) это значение достигается, но там начинается отрезок)

Проанализируем пересечения:

• Если \( m = -5 \), прямая \( y = -5 \) пересекает график в двух точках: \( x = 4 \) (конец отрезка) и \( x = 4 \) (начало второго луча, где \( y=4-9=-5 \)).
• Если \( m = 2.5 \), прямая \( y = 2.5 \) пересекает график в одной точке: \( x = 1 \) (начало отрезка).
• Если \( m < -5 \), прямая \( y = m \) пересекает оба луча (первый и третий) ровно по одному разу, то есть всего в двух точках.

Объединим эти случаи.

Ответ: \( m = -5 \) или \( m < -5 \)