22. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-6x+10, & \text{если }x\geq1,\\ |x+2|, & \text{если }x<1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-6x+10, & \text{если }x\geq1,\\ |x+2|, & \text{если }x<1.\end{cases}$…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-6x+10, & \text{если }x\geq1,\\ |x+2|, & \text{если }x<1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Для части графика при $x<1$ имеем $y=|x+2|$. Горизонтальная прямая $y=m$ пересекает этот график в двух точках при \(0

Для части при $x\geq1$: $y=x^2-6x+10=(x-3)^2+1$. При $15$ — в одной.

Суммируя пересечения обеих частей, ровно две общие точки получаются при $05$ (по одной точке на каждой части).

График состоит из ветви $y=|x+2|$ только слева от $x=1$ и ветви параболы $y=(x-3)^2+1$ при $x\geq1$. На границе обе части включают соответствующие точки там, где задано нестрогое условие: для параболы точка $(1,5)$ включена, а для модуля при $x=1$ точка не включена.

Ответ: $m\in(0;1)\cup(5;+\infty)$.