22. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-6x+11,&\text{если }x\ge 2,\\x+3,&\text{если }x<2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-6x+11,&\text{если }x\ge 2,\\x+3,&\text{если }x<2.\end{cases}$…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-6x+11,&\text{если }x\ge 2,\\x+3,&\text{если }x<2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

При $x<2$ график — прямая $y=x+3$; точка при $x=2$ в эту ветвь не входит. При $x\ge2$ имеем параболу $y=(x-3)^2+2$, включающую вершину $(3;2)$.

Посчитаем пересечения с горизонтальной прямой. При $m=2$ парабола касается прямой в вершине, а линейная ветвь пересекает её ещё в одной точке. При $3<m<5$ есть одно пересечение с каждой ветвью: корень линейной ветви удовлетворяет $x=m-3<2$, а у параболы остаётся только правый корень, поскольку левый меньше 2. Во всех остальных случаях получается не ровно две точки.

Ответ: $m=2$ или $3<m<5$.