22. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+6x+9, & \text{если } x\ge -5;\\ -\dfrac{20}{x}, & \text{если } x<-5.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции \(y=\begin{cases}x^2+6x+9, & \text{если } x\ge -5;\\ -\dfrac{20}{x}, & \text{если }…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+6x+9, & \text{если } x\ge -5;\\ -\dfrac{20}{x}, & \text{если } x<-5.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Accepted Answer

Первая часть функции — парабола $y=(x+3)^2$ при $x\ge -5$. Вторая часть — ветвь $y=-20/x$ при $x<-5$. При $x=-5$ значение функции задаёт только первая часть: точка $(-5,4)$ входит в график; для второй части это граничное значение не входит.

Для прямой $y=m$ считаем пересечения с обеими частями графика. Парабола имеет минимум 0 при $x=-3$. Вторая ветвь принимает значения строго между 0 и 4.

При $m=0$ есть одна общая точка — вершина параболы. При $0<m<4$ парабола даёт две точки, а вторая ветвь — ещё одну, итого три. При $m=4$ имеются две точки параболы: $x=-5$ и $x=-1$; граничная точка второй ветви не учитывается. При $m>4$ остаётся одна точка параболы.

Ответ: одна общая точка при $m=0$ или $m>4$; две общие точки при $m=4$.