25 В треугольнике ABC известно, что AB = 18, AC = 36, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус описанной окружности. В треугольнике \( ABC \) имеем \( AB = 18 \) и \( AC = 36 \).

Рассмотрим треугольник \( AOB \). \( OA = OB = R \), поэтому \( \triangle AOB \) — равнобедренный.

Пусть \( \angle OAB = \angle OBA = \alpha \).

Прямая \( BD \) перпендикулярна \( AO \), значит, \( \angle BDA = 90^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( ABD \). Угол \( \angle BAD = \angle OAB = \alpha \).

Угол \( \angle ABD = 90^{\circ} - \alpha \).

Угол \( \angle ABC \) — это угол треугольника \( ABC \). Он равен \( \angle ABO + \angle OBC = \alpha + \angle OBC \).

Угол \( \angle ACB \) — угол треугольника \( ABC \).

Угол \( \angle BOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( BC \). \( \angle BOC = 2 \angle BAC \).

Угол \( \angle AOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( AC \). \( \angle AOC = 2 \angle ABC \).

В равнобедренном треугольнике \( AOC \) (так как \( OA = OC = R \)), угол \( \angle OAC = \angle OCA \).

Угол \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( BC \). \( \angle BAC = \frac{1}{2} \).

Пусть \( \angle BAC = \gamma \).

В треугольнике \( ABC \), по теореме синусов: \( \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R \) и \( \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = 2R \).

\( \frac{36}{\sin(\angle ABC)} = 2R \) и \( \frac{18}{\sin(\angle ACB)} = 2R \).

\( \sin(\angle ABC) = \frac{36}{2R} = \frac{18}{R} \).

\( \sin(\angle ACB) = \frac{18}{2R} = \frac{9}{R} \).

Рассмотрим треугольник \( ABD \). \( \angle BDA = 90^{\circ} \). \( \angle BAD = \alpha \). \( BD = AB \sin(\alpha) = 18 \sin(\alpha) \).

\( AD = AB \cos(\alpha) = 18 \cos(\alpha) \).

В равнобедренном треугольнике \( AOB \), \( \angle AOB = 180^{\circ} - 2\alpha \).

Рассмотрим треугольник \( AOC \). \( OA = OC = R \). \( \angle AOC = 2 \angle ABC \).

В равнобедренном \( \triangle AOC \), \( \angle OAC = \angle OCA = \frac{180^{\circ} - \angle AOC}{2} = 90^{\circ} - \frac{\angle AOC}{2} = 90^{\circ} - \angle ABC \).

Но \( \angle OAC = \alpha \).

Значит, \( \alpha = 90^{\circ} - \angle ABC \).

\( \angle ABC = 90^{\circ} - \alpha \).

В треугольнике \( ABC \), сумма углов: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \).

\( \angle BAC + (90^{\circ} - \alpha) + \angle ACB = 180^{\circ} \).

\( \angle BAC + \angle ACB = 90^{\circ} + \alpha \).

Мы знаем, что \( \angle ABC = 90^{\circ} - \alpha \).

В \( \triangle ABD \), \( \angle ABD = 90^{\circ} - \angle BAD = 90^{\circ} - \alpha \).

Следовательно, \( \angle ABD = \angle ABC \).

Это означает, что точка \( D \) лежит на отрезке \( AC \), и \( BD \) совпадает с \( BC \).

Если \( BD \) совпадает с \( BC \), то \( D \) лежит на \( AC \), и \( BD \) перпендикулярна \( AO \).

Если \( D \) лежит на \( AC \), и \( BD \) совпадает с \( BC \), то \( D = C \) (точка пересечения \( BC \) и \( AC \)).

Но \( BD \) перпендикулярна \( AO \). Если \( D = C \), то \( BC \) перпендикулярна \( AO \).

Рассмотрим \( \triangle AOC \). \( OA = OC \). \( \angle OAC = \angle OCA \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( AB = 18, AC = 36 \). \( AC = 2 AB \).

Если \( AC = 2 AB \), то треугольник \( ABC \) может быть прямоугольным с прямым углом \( \angle B = 90^{\circ} \). В этом случае гипотенуза \( AC \) является диаметром описанной окружности, и центр \( O \) — середина \( AC \).

Если \( \angle B = 90^{\circ} \), то \( AC = 2R \). \( 36 = 2R \) \( \Rightarrow R = 18 \).

Тогда \( AB = 18 = R \). В \( \triangle AOB \), \( OA = OB = AB = 18 \). \( \triangle AOB \) — равносторонний.

\( \angle OAB = 60^{\circ} \).

\( \alpha = 60^{\circ} \).

\( \angle BAC = 60^{\circ} \).

\( \angle ABC = 90^{\circ} \).

\( \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Если \( \angle B = 90^{\circ} \), то \( O \) — середина \( AC \). \( AO = R = 18 \).

\( BD \) перпендикулярна \( AO \).

\( \triangle ABD \) — прямоугольный с \( \angle ADB = 90^{\circ} \). \( \angle BAD = \angle BAC = 60^{\circ} \).

\( AD = AB \cos(60^{\circ}) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \).

\( CD = AC - AD = 36 - 9 = 27 \).

Проверим, действительно ли \( \angle B = 90^{\circ} \). По теореме, обратной теореме Пифагора: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \). Нам нужно найти \( BC \).

В \( \triangle ABC \), \( \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = 2R \).

\( BC = 2R \sin(\angle BAC) = 2 \cdot 18 \cdot \sin(60^{\circ}) = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \).

\( AB^2 + BC^2 = 18^2 + (18\sqrt{3})^2 = 324 + 324 \cdot 3 = 324 + 972 = 1296 \).

\( AC^2 = 36^2 = 1296 \).

Так как \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \), то \( \angle ABC = 90^{\circ} \).

Значит, наше предположение верно.

Ответ: 27