23 Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 16 и 34. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Пусть данный прямоугольный треугольник имеет катеты \( a \) и \( b \) и гипотенузу \( c \). По условию, один катет \( a = 16 \) и гипотенуза \( c = 34 \).

Найдем второй катет \( b \) по теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

\( 16^2 + b^2 = 34^2 \)

\( 256 + b^2 = 1156 \)

\( b^2 = 1156 - 256 = 900 \)

\( b = \sqrt{900} = 30 \).

Теперь найдем площадь треугольника двумя способами.

Первый способ: через катеты. \( S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240 \).

Второй способ: через гипотенузу и высоту, проведённую к гипотенузе (обозначим её \( h_c \)). \( S = \frac{1}{2} c h_c \).

Приравняем площади:

\( \frac{1}{2} c h_c = 240 \)

\( \frac{1}{2} \cdot 34 \cdot h_c = 240 \)

\( 17 h_c = 240 \)

\( h_c = \frac{240}{17} \).

Ответ: \(\frac{240}{17}\)