22. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

При $x\ne2$ имеем $\dfrac{x-2}{2-x}=-1$, поэтому функция задаётся формулой $y=-x^2-1$, но при $x=2$ она не определена. Следовательно, график — парабола $y=-x^2-1$ с выколотой точкой $(2;-5)$.

Чтобы найти пересечения с прямой $y=kx$, решим уравнение $-x^2-1=kx$, или $x^2+kx+1=0$, исключая корень $x=2$.

Уравнение имеет один действительный корень при $k^2-4=0$, то есть при $k=2$ или $k=-2$. В обоих случаях корень допустим. При $|k|>2$ обычно два корня, однако при $k=-\dfrac52$ один корень равен исключённому значению $x=2$, а другой допустим: тогда общая точка ровно одна. При остальных значениях решений либо нет, либо их два.

Схема графика функции:

Ответ: $k\in\left\{-\dfrac52,-2,2\right\}$.

22. Постройте график функции \(y=\dfrac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: