22. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+3x+2)(x^2-4x+3)}{x^2-2x-3}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+3x+2)(x^2-4x+3)}{x^2-2x-3}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+3x+2)(x^2-4x+3)}{x^2-2x-3}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Разложим многочлены на множители: $y=\dfrac{(x+1)(x+2)(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+1)}$. Область определения исходной функции: $x\ne -1$, $x\ne 3$.

Сократив дробь с учётом ограничений, получаем $y=(x+2)(x-1)=x^2+x-2$, где $x\ne -1,3$. Поэтому график — парабола с выколотыми точками $(-1,-2)$ и $(3,10)$.

Вершина параболы имеет координаты $\left(-\dfrac12,-\dfrac94\right)$. Прямая через вершину пересекает график ровно в одной точке. Для $m=-2$ пересечения параболы соответствуют $x=-1$ и $x=0$, но точка при $x=-1$ выколота. Для $m=10$ это $x=-4$ и $x=3$, причём точка при $x=3$ выколота. При любом другом $m>-\dfrac94$ остаются два пересечения; при $m< -\dfrac94$ пересечений нет.

График функции:

Ответ: $m=-\dfrac94$, $m=-2$, $m=10$.

22. Постройте график функции \(y=\dfrac{(x^2+3x+2)(x^2-4x+3)}{x^2-2x-3}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: