24. В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны.

Question

Вопрос: $Фото задания: 24. В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что треугольники $A_1BC_1$…$ Фото задания

24. В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны.

Accepted Answer

Так как угол $ABC$ тупой, основания высот $A_1$ и $C_1$ лежат на продолжениях прямых $BC$ и $AB$ за точку $B$. Поэтому $\angle A_1BC_1=\angle ABC$: стороны этих углов соответственно лежат на тех же прямых и направлены в противоположные стороны.

Обозначим $\angle ABC=\beta$. Из прямоугольных треугольников с гипотенузами $AB$ и $BC$ получаем $BA_1=AB\cdot(-\cos\beta)$ и $BC_1=BC\cdot(-\cos\beta)$, поскольку $\beta$ тупой.

Следовательно, $\dfrac{BA_1}{BC_1}=\dfrac{AB}{BC}$. У треугольников $A_1BC_1$ и $ABC$ равны углы при $B$, а прилежащие к ним стороны пропорциональны. Значит, треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.

24. В треугольнике \(ABC\) с тупым углом \(ABC\) проведены высоты \(AA_1\) и \(CC_1\). Докажите, что треугольники \(A_1BC_1\) и \(ABC\) подобны.

Ответ: