22. Постройте график функции \(y=\dfrac{x-3}{x^2-3x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne 0\) и \(x\ne 3\). При этих ограничениях

\(y=\dfrac{x-3}{x(x-3)}=\dfrac1x\).

Значит, график — гипербола \(y=1/x\) с выколотой точкой \((3;1/3)\).

Для пересечения с прямой \(y=kx\) решаем \(1/x=kx\), где обязательно \(x\ne0,3\). При \(k>0\) уравнение даёт две точки \(x=\pm1/\sqrt{k}\), кроме случая, когда одна из них исключена из области определения. Точка \(x=3\) исключается именно при \(k=1/9\); тогда остаётся только точка с \(x=-3\). При остальных \(k>0\) общих точек две, а при \(k\le0\) их нет.

Ответ: \(k=\dfrac19\).