24. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

Доказательство:

1. Пусть основание параллелограмма AB = CD = a, а высота, проведенная к этому основанию, равна h.
2. Площадь параллелограмма ABCD равна \( S_{ABCD} = a · h \).
3. Пусть точка E имеет расстояние \( h_1 \) до стороны AB (и CD) и \( h_2 \) до стороны BC (и AD).
4. Важно: \( h_1 + h_2 = h \) (суммарная высота параллелограмма).
5. Рассмотрим треугольник BEC:
6. Его основание — сторона BC, которая равна 'a' (так как ABCD — параллелограмм).
7. Высота, проведенная к основанию BC, равна \( h_2 \).
8. Площадь треугольника BEC: \( S_{BEC} = \frac{1}{2} · BC · h_2 = \frac{1}{2} a h_2 \).
9. Рассмотрим треугольник AED:
10. Его основание — сторона AD, которая также равна 'a'.
11. Высота, проведенная к основанию AD, равна \( h_1 \).
12. Площадь треугольника AED: \( S_{AED} = \frac{1}{2} · AD · h_1 = \frac{1}{2} a h_1 \).
13. Сумма площадей треугольников BEC и AED:
14. \( S_{BEC} + S_{AED} = \frac{1}{2} a h_2 + \frac{1}{2} a h_1 \)
15. \( S_{BEC} + S_{AED} = \frac{1}{2} a (h_2 + h_1) \)
16. Так как \( h_1 + h_2 = h \), то:
17. \( S_{BEC} + S_{AED} = \frac{1}{2} a h \)
18. А \( \frac{1}{2} a h \) — это половина площади параллелограмма ABCD.
19. \( S_{BEC} + S_{AED} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \).

Что и требовалось доказать.