24. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

Доказательство:

Пусть \( S_{ABCD} \) — площадь параллелограмма ABCD. Пусть \( h \) — высота параллелограмма, проведенная к основанию \( AD \) (или \( BC \)), и \( a \) — длина основания \( AD \). Тогда \( S_{ABCD} = a \cdot h \).

Пусть точка E имеет координаты \( (x, y) \) относительно системы координат, где начало находится в точке A, ось Ox направлена вдоль AD, а ось Oy — вдоль AB. Однако, проще использовать свойства высот.

Пусть \( h_1 \) — высота треугольника BEC, проведенная из точки E к основанию BC. Тогда \( h_1 \) — это расстояние от E до прямой BC.

Пусть \( h_2 \) — высота треугольника AED, проведенная из точки E к основанию AD. Тогда \( h_2 \) — это расстояние от E до прямой AD.

Так как BC и AD параллельны, сумма высот \( h_1 + h_2 \) равна высоте параллелограмма h (если E лежит между прямыми AD и BC).

\[ h_1 + h_2 = h \]

Площадь треугольника BEC равна:

\[ S_{BEC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 \]

Площадь треугольника AED равна:

\[ S_{AED} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 \]

Так как ABCD — параллелограмм, то \( AD = BC = a \).

\[ S_{BEC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 \]
\[ S_{AED} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_2 \]

Сумма площадей треугольников BEC и AED:

\[ S_{BEC} + S_{AED} = \frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2) \]

Подставляем \( h_1 + h_2 = h \):

\[ S_{BEC} + S_{AED} = \frac{1}{2} a h \]

Так как площадь параллелограмма \( S_{ABCD} = a \cdot h \), то:

\[ S_{BEC} + S_{AED} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \]

Таким образом, сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма ABCD.

Что и требовалось доказать.