22. Постройте график функции y = \(\frac{(0.75x² - 1.5x) |x|}{x - 2}\). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = \frac{(0.75x^2 - 1.5x) |x|}{x - 2} \).

Вынесем \( 0.75x \) из числителя: \( y = \frac{0.75x(x - 2) |x|}{x - 2} \).

При \( x \neq 2 \) сокращаем \( (x - 2) \): \( y = 0.75x |x| \).

Рассмотрим два случая для \( |x| \):

1. Если \( x \ge 0 \) и \( x \neq 2 \), то \( |x| = x \).

\( y = 0.75x \cdot x = 0.75x^2 \).

Это парабола ветвями вверх. В точке \( x=0 \) значение \( y = 0 \). В точке \( x=2 \) функция не определена. Если бы она была определена, \( y = 0.75 × 2^2 = 0.75 × 4 = 3 \). Значит, у графика будет "выколотая" точка \( (2, 3) \).

2. Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \).

\( y = 0.75x \cdot (-x) = -0.75x^2 \).

Это парабола ветвями вниз. В точке \( x=0 \) значение \( y = 0 \).

График состоит из двух частей параболы \( y = 0.75x^2 \) для \( x \ge 0 \) (кроме \( x=2 \)) и \( y = -0.75x^2 \) для \( x < 0 \). Вершина парабол находится в точке \( (0, 0) \).

Значение функции в точке \( x=2 \) не определено, но приближается к \( 3 \).

Значения \( y \) для \( x \ge 0 \) начинаются от \( 0 \) и неограниченно растут (кроме \( x=2 \)).

Значения \( y \) для \( x < 0 \) начинаются от \( 0 \) и неограниченно убывают.

Таким образом, область значений функции — \( (-\infty, 0] \cup [0, 3) \cup (3, \infty) \), то есть \( (-\infty, \infty) \) за исключением точки \( y=3 \) (если бы \( x=2 \) был включен в область определения).

Однако, мы имеем \( y = 0.75x^2 \) для \( x \ge 0 \) и \( x \neq 2 \). При \( x=0 \), \( y=0 \). При \( x \to \infty \), \( y \to \infty \). Значения \( y \) охватывают \( [0, \infty) \) (кроме \( y=3 \)).

Для \( x < 0 \) имеем \( y = -0.75x^2 \). При \( x \to 0^- \), \( y \to 0 \). При \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \). Значения \( y \) охватывают \( (-\infty, 0) \).

Объединяя, область значений функции — \( (-\infty, 0) \cup [0, 3) \cup (3, \infty) \). То есть \( y \) может принимать любое значение, кроме \( y=3 \), так как точка \( x=2 \) выколота.

Прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( m \) не входит в область значений функции.

В данном случае, единственное значение, которое не достигается функцией, — это \( y = 3 \) (значение, которое функция приближается, но не достигает из-за выколотой точки).

Ответ: m = 3.