25. Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos ∠BAC = \(\frac{\sqrt{15}}{4}\).

Решение:

Пусть \( O \) — центр окружности, проходящей через \( M \) и \( N \) и касающейся луча \( AB \). Пусть \( r \) — радиус этой окружности. Точки \( M \) и \( N \) лежат на стороне \( AC \) на расстояниях \( AM = 4 \) и \( AN = 15 \) от вершины \( A \).

Так как окружность касается луча \( AB \), расстояние от центра \( O \) до прямой \( AB \) равно радиусу \( r \).

Пусть \( K \) — точка касания окружности с лучом \( AB \). Тогда \( OK \perp AB \) и \( OK = r \).

Пусть \( L \) — середина хорды \( MN \). Тогда \( OL ⊥ MN \) (или \( OL ⊥ AC \), так как \( M \) и \( N \) лежат на \( AC \)).

Длина хорды \( MN = AN - AM = 15 - 4 = 11 \).

Поскольку \( L \) — середина \( MN \), то \( ML = LN = \frac{11}{2} = 5.5 \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle OLA \) (если \( O \) лежит на перпендикуляре к \( AC \) в середине \( MN \)) или просто в прямоугольном треугольнике, образованном центром \( O \), серединой хорды \( L \) и точкой \( A \), мы имеем:

\( OA^2 = OL^2 + AL^2 \).

\( AL = AM + ML = 4 + 5.5 = 9.5 \) (или \( AL = AN - LN = 15 - 5.5 = 9.5 \)).

\( AL = \frac{AM + AN}{2} = \frac{4 + 15}{2} = 9.5 \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle OKA \) (предполагая, что \( O \) лежит на перпендикуляре к \( AB \) в точке \( K \)), мы имеем \( OA^2 = OK^2 + AK^2 \) или, если рассмотреть \( \triangle AKA \) с катетами \( AK \) и \( OK \), то \( OA^2 = AK^2 + r^2 \). Это не совсем корректно.

Рассмотрим точку \( O \) и перпендикуляр \( OK \) к \( AB \) и \( OL \) к \( AC \). Треугольник \( \triangle AKA \) здесь не подходит. Рассмотрим треугольник, образованный \( A \), \( O \) и проекцией \( O \) на \( AB \) (точка \( K \)) и проекцией \( O \) на \( AC \) (точка \( L \)).

Пусть \( \alpha = \angle BAC \). Из условия \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} \).

Так как \( \alpha \) — угол треугольника, \( \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OKA \), где \( OK = r \). Тогда \( AK = OA \cos \alpha \) и \( OK = OA \sin \alpha \).

Из \( OK = OA \sin \alpha \) следует \( r = OA \cdot \frac{1}{4} \), то есть \( OA = 4r \).

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle OLA \). \( OL \) — расстояние от центра \( O \) до хорды \( MN \) на прямой \( AC \). \( AL = 9.5 \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle OLA \), \( OA^2 = OL^2 + AL^2 \).

\( (4r)^2 = OL^2 + (9.5)^2 \)

\( 16r^2 = OL^2 + 90.25 \).

Также, \( OL \) — это расстояние от \( O \) до \( AC \). Проекция \( O \) на \( AC \) — это \( L \). Расстояние от \( O \) до \( AB \) — это \( r \). Угол между \( AB \) и \( AC \) равен \( \alpha \).

Рассмотрим систему координат с началом в \( A \), \( AC \) — по оси абсцисс, \( AB \) — под углом \( \alpha \).

Координаты \( O \) будут \( (OL, OK \text{ в проекции на перпендикуляр}) \) или \( (x_O, y_O) \).

Пусть \( O \) имеет координаты \( (x_O, y_O) \) в системе, где \( A \) — начало, \( AC \) — ось x. Тогда \( O = (x_O, y_O) \).

\( L \) — середина \( MN \), \( L = (9.5, 0) \). \( OL = |y_O| \). \( OA^2 = x_O^2 + y_O^2 \).

Касание к \( AB \): луч \( AB \) проходит через \( A = (0, 0) \) под углом \( \alpha \). Уравнение прямой \( AB \): \( y = x \tan \alpha \) или \( x \sin \alpha - y \cos \alpha = 0 \).

Расстояние от \( O(x_O, y_O) \) до \( AB \) равно \( r \):

\( r = \frac{|x_O \sin \alpha - y_O \cos \alpha|}{\sqrt{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}} = |x_O \sin \alpha - y_O \cos \alpha| \).

\( r = |x_O \cdot \frac{1}{4} - y_O \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}| \).

\( 4r = |\frac{1}{4} x_O - \frac{\sqrt{15}}{4} y_O| \).

\( 16r^2 = (\frac{1}{4} x_O - \frac{\sqrt{15}}{4} y_O)^2 \).

Из \( OA = 4r \) и \( OA^2 = x_O^2 + y_O^2 \) имеем \( 16r^2 = x_O^2 + y_O^2 \).

\( x_O^2 + y_O^2 = (\frac{1}{4} x_O - \frac{\sqrt{15}}{4} y_O)^2 \).

\( x_O^2 + y_O^2 = \frac{1}{16} x_O^2 - \frac{2\sqrt{15}}{16} x_O y_O + \frac{15}{16} y_O^2 \).

\( 16x_O^2 + 16y_O^2 = x_O^2 - 2\sqrt{15} x_O y_O + 15y_O^2 \).

\( 15x_O^2 + y_O^2 + 2\sqrt{15} x_O y_O = 0 \).

\( y_O^2 + 2\sqrt{15} x_O y_O + 15x_O^2 = 0 \).

Это квадратное уравнение относительно \( y_O \) (или \( x_O \)).

\( y_O = \frac{-2\sqrt{15} x_O \pm \sqrt{(2\sqrt{15} x_O)^2 - 4 \cdot 1 × 15 x_O^2}}{2} \)

\( y_O = \frac{-2\sqrt{15} x_O \pm \sqrt{4 × 15 x_O^2 - 60 x_O^2}}{2} \)

\( y_O = \frac{-2\sqrt{15} x_O \pm \sqrt{60 x_O^2 - 60 x_O^2}}{2} \)

\( y_O = \frac{-2\sqrt{15} x_O}{2} = -\sqrt{15} x_O \).

Так как \( O \) — центр окружности, то \( OL = |y_O| \) и \( AL = 9.5 \).

\( OA = 4r \).

\( OL \) — перпендикуляр к \( AC \). \( O \) лежит на перпендикуляре к \( AC \) в точке \( L \). Значит, \( x_O = AL = 9.5 \).

\( y_O = -\sqrt{15} \cdot 9.5 = -9.5\sqrt{15} \).

\( OL = |y_O| = 9.5\sqrt{15} \).

\( OA^2 = AL^2 + OL^2 = (9.5)^2 + (-9.5\sqrt{15})^2 = 90.25 + 90.25 × 15 = 90.25 (1 + 15) = 90.25 × 16 \).

\( OA = \sqrt{90.25 × 16} = 9.5 \times 4 = 38 \).

Мы получили \( OA = 38 \).

Из \( OA = 4r \) следует \( 38 = 4r \).

\( r = \frac{38}{4} = 9.5 \).

Проверим:

\( OA = 4r = 4 × 9.5 = 38 \).

\( 16r^2 = 16 × (9.5)^2 = 16 × 90.25 = 1444 \).

\( OA^2 = 38^2 = 1444 \).

\( OL^2 = (9.5\sqrt{15})^2 = 90.25 × 15 = 1353.75 \).

\( AL^2 = 9.5^2 = 90.25 \).

\( OL^2 + AL^2 = 1353.75 + 90.25 = 1444 \).

Всё сходится.

Ответ: 9.5.