25. Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos ∠BAC = √15/4.

Пусть О - центр окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB в точке K. Пусть r - радиус этой окружности. По условию AM = 4, AN = 15. Пусть угол BAC = α. Тогда cos α = √15/4. Синус угла α равен sqrt(1- (15/16)) = sqrt(1/16) = 1/4. Пусть угол OAK = 90° тогда OK = r. Проведем радиусы к M и N, тогда OM=ON=r. Треугольник OAM является равнобедренным. По теореме косинусов для треугольника AMN: MN² = AM² + AN² - 2 * AM * AN * cos α. MN = 15 - 4 = 11. 11² = 4² + 15² - 2 * 4 * 15 * (√15/4). 121 = 16 + 225 - 30√15 = 241 - 30√15. 120 = -30√15. Неправильно, надо было посчитать AM=4 AN=15. Пусть h - высота от точки O к стороне AC. Тогда h=r. (r-4)^2 +x^2 = r^2, r^2-8r+16+x^2=r^2. (r-15)^2 +y^2=r^2. Используя теорему синусов для треугольника AMN, в котором вписанная окружность ищем радиус R. MN = 11. 2R = MN / sin(BAC), R = 11/(2*sin(BAC)) = 11/(2 * 1/4) = 11 / (1/2) = 22. Далее. Из условия касания к прямой AB следует что центр окружности будет лежать на перпендикуляре к касательной. Угол BAC = а. cos(a) = sqrt(15)/4. sin(a)=1/4. Формула радиуса окружности вписанной в треугольник AMN: S = pr, p - полупериметр, r - радиус. По теореме косинусов MN^2 = AM^2 + AN^2 - 2*AM*AN*cos(BAC) MN^2 = 16 + 225 - 2 * 4*15*sqrt(15)/4 = 241 - 30sqrt(15). MN = sqrt(241-30sqrt(15)). Площадь AMN = 1/2 * AM* AN * sin(BAC) = 1/2 *4*15*(1/4) = 15/2. p = (4+15+sqrt(241-30sqrt(15)))/2. r = S/p. Другой подход. Искомый радиус = (AM*AN)/2h, где h - высота треугольника AMN. h=11*sin(a). R = 4*15/(2*11*1/4)= 120/11. Ответ: 120/11.