22. Постройте график функции \(y=\frac{3|x|-1}{|x|-3x^2}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) не имеет с графиком функции общих точек.

Знаменатель обращается в ноль при \(x=0\) или \(|x|=3\), поэтому область определения: \(x\ne-3,0,3\). Функция чётная, а график симметричен относительно оси \(Oy\).

Для построения удобно записать функцию по частям:

При \(x>0\), \(y=\frac{3x-1}{x-3x^2}\); при \(x<0\), \(y=\frac{-3x-1}{-x-3x^2}\). В точках \(x=-3,0,3\) график не определён.

Чтобы найти пересечения с \(y=kx\), при \(x\ne0\) делим значение функции на \(x\). Подстановка даёт:

При \(x>0\): \(k=\frac{3x-1}{x^2(1-3x)}\). При \(x<0\), положив \(u=-x>0\), получаем \(k=\frac{3u+1}{u^2(1-3u)}\).

На промежутках \(0<x<\frac13\) первая функция принимает все положительные значения; при \(x>\frac13\) она принимает все отрицательные значения. Во втором выражении при \(0<u<\frac13\) получаются все положительные значения, а при \(u>\frac13\) — все отрицательные. Значит, для любого \(k\ne0\) существует пересечение. При \(k=0\) прямая совпадает с осью \(Ox\), и пересечения возможны только при нуле числителя; числитель обращается в ноль при \(|x|=\frac13\), где знаменатель не равен нулю. Следовательно, пересечения есть и при \(k=0\).

Итак, прямой \(y=kx\) не удаётся избежать пересечения с графиком ни при каком действительном \(k\). График функции можно построить, отложив указанные две ветви; при \(x=0,\pm3\) имеются исключённые точки.

Ответ: таких значений \(k\) нет.