22. Постройте график функции \(y=\frac{x+2}{x^2+2x}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком одну общую точку.

Область определения: \(x\ne0\) и \(x\ne-2\). При этих ограничениях \(y=\frac{x+2}{x(x+2)}=\frac1x\). Значит, график — гипербола \(y=\frac1x\) с выколотой точкой \((-2; -\frac12)\).

Для точек пересечения с прямой \(y=kx\) решаем \(\frac1x=kx\), где \(x\ne0,-2\). При \(k\le0\) решений нет. При \(k>0\) уравнение даёт точки с абсциссами \(x=\pm\frac1{\sqrt{k}}\), кроме значений, исключённых из области определения. Обычно получаются две точки. Одна точка будет при \(k=\frac14\): тогда абсциссы \(-2\) и \(2\), но \(-2\) исключена, а \(2\) допустима.

На графике показаны гипербола, выколотая точка и прямая \(y=\frac14x\).

Ответ: \(k=\frac14\).