22. Постройте график функции y = ((x − 1)(x² − 5x + 6))/(x − 3) и определите, при каких значениях a прямая y = a имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разложим квадратный трёхчлен на множители: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Область определения исходной функции: \(x\ne3\). После сокращения получаем \(y=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2\), но точка графика при \(x=3\) исключена. Её координаты на параболе были бы \((3;2)\).

График — парабола \(y=x^2-3x+2\) с выколотой точкой \((3;2)\). Её вершина имеет абсциссу \(x=\frac32\), а ординату \(-\frac14\).

Горизонтальная прямая пересекает параболу ровно в одной точке при касании в вершине: \(a=-\frac14\). Кроме того, при \(a=2\) парабола пересекалась бы с прямой в точках с абсциссами 0 и 3, но точка с абсциссой 3 исключена из графика. Остаётся ровно одна общая точка.

Ответ: \(a=-\frac14\) или \(a=2\).