22. Постройте график функции y = { x - 3, x < 3, -2x + 3,5, 3 ≤ x ≤ 4, 2x - 12,5, x > 4. } Определите, при каких значениях т прямая y = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Построим график функции по частям.

1. \( y = x - 3 \) при \( x < 3 \)

Это луч, начинающийся в точке \( x = 3 \). Значение \( y \) в этой точке: \( y = 3 - 3 = 0 \). Точка \( (3, 0) \) — начало луча, она не включается. Возьмем, например, \( x = 0 \), тогда \( y = 0 - 3 = -3 \). Точка \( (0, -3) \).

2. \( y = -2x + 3.5 \) при \( 3 \le x \le 4 \)

Это отрезок. На концах отрезка:

При \( x = 3 \): \( y = -2 \cdot 3 + 3.5 = -6 + 3.5 = -2.5 \). Точка \( (3, -2.5) \) включается.

При \( x = 4 \): \( y = -2 \cdot 4 + 3.5 = -8 + 3.5 = -4.5 \). Точка \( (4, -4.5) \) включается.

3. \( y = 2x - 12.5 \) при \( x > 4 \)

Это луч, начинающийся в точке \( x = 4 \). Значение \( y \) в этой точке: \( y = 2 \cdot 4 - 12.5 = 8 - 12.5 = -4.5 \). Точка \( (4, -4.5) \) — начало луча, она не включается. Возьмем, например, \( x = 5 \), тогда \( y = 2 \cdot 5 - 12.5 = 10 - 12.5 = -2.5 \). Точка \( (5, -2.5) \).

Теперь определим значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки. Это горизонтальные прямые, которые пересекают график в двух местах.

Анализируя построенный график (или его описание), видим:

• При \( m = -2.5 \) прямая пересекает график в двух точках: \( (3, -2.5) \) (из второй части) и \( (5, -2.5) \) (из третьей части).
• При \( m \) находящемся в интервале \( (-4.5, -2.5) \), прямая пересекает график в двух точках (одна из первой части, одна из третьей).

Ответ: \( m = -2.5 \) и \( m \in (-4.5; -2.5) \).