22. Постройте график функции y = { x² + 6x +7, при x ≥ -4; x + 10, при x < -4. Определите, при каких значениях т прямая y=т имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос:

Фото задания

22. Постройте график функции y = { x² + 6x +7, при x ≥ -4; x + 10, при x < -4. Определите, при каких значениях т прямая y=т имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Решение:

Функция задана кусочно:

1. \( y = x^2 + 6x + 7 \) при \( x \ge -4 \). Это парабола, ветви вверх.

Найдем вершину параболы: \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot 1} = -3 \).

\( y_в = (-3)^2 + 6(-3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2 \).

Вершина параболы находится в точке \( (-3, -2) \).

Проверим значение функции на границе интервала \( x = -4 \):

\( y = (-4)^2 + 6(-4) + 7 = 16 - 24 + 7 = -1 \).

Значит, первая часть графика проходит через точки \( (-4, -1) \) и \( (-3, -2) \).

2. \( y = x + 10 \) при \( x < -4 \). Это прямая.

Проверим значение функции на границе интервала \( x = -4 \):

\( y = -4 + 10 = 6 \).

Значит, вторая часть графика — это луч, исходящий из точки \( (-4, 6) \) (точка \( (-4, 6) \) не включается).

Построение графика:

Нарисуем координатную плоскость.

График функции состоит из части параболы \( y = x^2 + 6x + 7 \) для \( x \ge -4 \) и луча \( y = x + 10 \) для \( x < -4 \).

Определение значений m:

Прямая \( y=m \) — это горизонтальная прямая.

Чтобы прямая \( y=m \) имела с графиком ровно две общие точки, она должна пересекать:

Ветвь параболы \( y = x^2 + 6x + 7 \) в двух точках. Так как вершина параболы \( (-3, -2) \) и она направлена вверх, то горизонтальные прямые выше вершины \( y > -2 \) пересекают параболу в двух точках.
Но мы должны учитывать, что для \( x \ge -4 \) парабола начинается с \( y = -1 \). Поэтому прямые \( y=m \) будут пересекать параболу в двух точках, если \( m > -1 \).
Луч \( y = x + 10 \) начинается из точки \( (-4, 6) \) (не включая эту точку) и идет вверх.
Если \( m = 6 \), то прямая \( y=6 \) будет иметь одну общую точку с лучом (в точке, где \( x \to -4 \)) и две общие точки с параболой (так как \( 6 > -1 \)). Итого 3 точки.
Если \( m < -2 \), то прямая \( y=m \) не будет иметь точек пересечения с графиком.
Если \( m = -2 \), то прямая \( y=-2 \) будет иметь одну точку пересечения с параболой (вершина).
Если \( -2 < m < -1 \), то прямая \( y=m \) будет иметь одну точку пересечения с параболой.
Если \( m = -1 \), то прямая \( y=-1 \) будет иметь одну точку пересечения с параболой (в точке \( x=-4 \)).
Если \( m > 6 \), то прямая \( y=m \) будет иметь одну общую точку с лучом и две общие точки с параболой. Итого 3 точки.
Если \( -1 < m < 6 \), то прямая \( y=m \) будет иметь две точки пересечения с параболой и одну точку пересечения с лучом. Итого 3 точки.
Чтобы прямая \( y=m \) имела ровно две общие точки, она должна пересекать:
- Только параболу в двух точках: \( m > -1 \) и \( m < 6 \).
- Только луч в одной точке и параболу в одной точке. Это невозможно.
- Единственный случай, когда у нас будет ровно две точки, это когда прямая пересекает одну ветвь параболы и луч.

Рассмотрим случай, когда прямая \( y=m \) пересекает параболу в двух точках и луч в одной точке. Это происходит, когда \( m > 6 \) или \( -1 < m < 6 \). Это дает 3 точки.

Рассмотрим случай, когда прямая \( y=m \) пересекает параболу в одной точке и луч в одной точке. Это происходит, когда \( m = -1 \) (одна точка с параболой) и \( y=6 \) (одна точка с лучом, но не включая).

Чтобы получить ровно две общие точки:

1. Прямая \( y=m \) проходит через вершину параболы, но при этом не пересекает луч. Это \( m=-2 \) (одна точка с параболой). Не подходит.

2. Прямая \( y=m \) проходит через точку \( (-4, -1) \) (начало интервала параболы) и при этом пересекает луч. Это \( m=-1 \). Прямая \( y=-1 \) пересекает параболу в одной точке \( (-4, -1) \). Прямая \( y=-1 \) пересекает луч \( y=x+10 \) при \( -1=x+10 \), \( x=-11 \), что меньше \( -4 \). Значит, пересекает в одной точке. Итого 2 точки.

3. Прямая \( y=m \) проходит через точку \( (-4, 6) \) (начало интервала луча), но не включается. При \( m=6 \) прямая \( y=6 \) пересекает луч в одной точке (предельно близко к \( x=-4 \)) и пересекает параболу в двух точках (так как \( 6 > -1 \)). Итого 3 точки.

Таким образом, ровно две общие точки получаются, когда прямая \( y=m \) проходит через точку \( (-4, -1) \), то есть \( m = -1 \).

Ответ: m = -1.