24. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что углы ВВ1А1 и ВАА1 равны.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник \( AA_1BB_1 \). В нем проведены высоты \( AA_1 \) и \( BB_1 \), поэтому \( \angle AA_1B = 90^{\circ} \) и \( \angle BB_1A = 90^{\circ} \).

В четырехугольнике \( AA_1BB_1 \) имеем два прямых угла, прилежащих к одной стороне \( AB \).

Сумма противоположных углов \( \angle AA_1B + \angle BB_1A = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).

Это означает, что четырехугольник \( AA_1BB_1 \) является вписанным, то есть его можно вписать в окружность.

Если четырехугольник вписан в окружность, то углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны.

Углы \( \angle BB_1A_1 \) и \( \angle BAA_1 \) опираются на одну и ту же хорду \( BA_1 \) окружности, проходящей через точки \( A, B, A_1, B_1 \).

Следовательно, \( \angle BB_1A_1 = \angle BAA_1 \).

Что и требовалось доказать.