Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Сначала упростим выражение для функции:
Разложим числитель и знаменатель на множители:
\( x^2 + 7x + 12 \): корни \( x=-3 \) и \( x=-4 \). \( x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) \).
\( x^2 - x - 2 \): корни \( x=2 \) и \( x=-1 \). \( x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) \).
\( x^2 + 5x + 4 \): корни \( x=-1 \) и \( x=-4 \). \( x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4) \).
Теперь подставим разложенные множители в выражение для \( y \):
\( y = \frac{(x+3)(x+4)(x-2)(x+1)}{(x+1)(x+4)} \).
Сокращаем общие множители \( (x+1) \) и \( (x+4) \), при условии, что \( x \ne -1 \) и \( x \ne -4 \).
\( y = (x+3)(x-2) = x^2 + x - 6 \).
Это парабола \( y = x^2 + x - 6 \) с выколотыми точками при \( x = -1 \) и \( x = -4 \).
Найдем значения \( y \) в этих точках:
При \( x = -1 \): \( y = (-1)^2 + (-1) - 6 = 1 - 1 - 6 = -6 \). Точка выколота: \( (-1, -6) \).
При \( x = -4 \): \( y = (-4)^2 + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 \). Точка выколота: \( (-4, 6) \).
График функции — парабола \( y = x^2 + x - 6 \) с вершиной в точке \( x = -\frac{1}{2} \), \( y = (-0.5)^2 + (-0.5) - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25 \).
Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия.
- Если \( m \) равно значению \( y \) в выколотой точке \( (-1, -6) \), то прямая \( y = -6 \) будет иметь одну общую точку с параболой (в вершине), но так как точка \( (-1, -6) \) выколота, эта прямая будет иметь ровно одну общую точку с графиком.
- Если \( m \) равно значению \( y \) в выколотой точке \( (-4, 6) \), то прямая \( y = 6 \) будет иметь две общие точки с параболой, но одна из них \( (-4, 6) \) будет выколота. Таким образом, прямая \( y = 6 \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком.
- Если \( m \) равно значению \( y \) в вершине параболы \( y = -6.25 \), то прямая \( y = -6.25 \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком (вершину).
Таким образом, значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку, это \( m = -6.25 \), \( m = -6 \) и \( m = 6 \).
Ответ: \( m = -6.25, m = -6, m = 6 \)
