22. Постройте график функции y = |x|(х+1)-6х и определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Раскроем модуль \( |x| \):

1. Если \( x \ge 0 \), то \( |x| = x \).

\( y = x(x+1) - 6x = x^2 + x - 6x = x^2 - 5x \).

Это парабола \( y = x^2 - 5x \). Вершина параболы находится в точке \( x_v = \frac{-(-5)}{2 · 1} = \frac{5}{2} = 2.5 \). \( y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25 \).

2. Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \).

\( y = -x(x+1) - 6x = -x^2 - x - 6x = -x^2 - 7x \).

Это парабола \( y = -x^2 - 7x \). Вершина параболы находится в точке \( x_v = \frac{-(-7)}{2 · (-1)} = \frac{7}{-2} = -3.5 \). \( y_v = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) = -12.25 + 24.5 = 12.25 \).

Теперь построим график, учитывая условия \( x ≥ 0 \) и \( x < 0 \).

Для \( x ≥ 0 \): \( y = x^2 - 5x \). Корни: \( x(x-5)=0 \) => \( x=0, x=5 \). Вершина (2.5, -6.25).

Для \( x < 0 \): \( y = -x^2 - 7x \). Корни: \( -x(x+7)=0 \) => \( x=0, x=-7 \). Вершина (-3.5, 12.25).

Прямая \( y=m \) будет иметь с графиком ровно две общие точки в следующих случаях:

• Когда \( y=m \) проходит через вершину параболы \( y = -x^2 - 7x \), то есть \( m = 12.25 \).
• Когда \( y=m \) проходит ниже вершины параболы \( y = x^2 - 5x \) и пересекает её в двух точках, то есть \( m > -6.25 \).
• Когда \( y=m \) находится между вершиной \( y = -x^2 - 7x \) и началом координат, то есть \( 0 < m < 12.25 \).

Объединяя эти случаи:

\( m = 12.25 \)

\( m < 0 \) (пересекает обе ветви параболы \( y=x^2-5x \) и \( y=-x^2-7x \) один раз)

\( m = -6.25 \) (касается параболы \( y=x^2-5x \) в вершине)

\( m > 12.25 \) (пересекает только одну ветвь параболы \( y=-x^2-7x \))

\( 0 < m < 12.25 \) (пересекает обе ветви параболы \( y=-x^2-7x \) дважды)

\( -6.25 < m < 0 \) (пересекает только одну ветвь параболы \( y=x^2-5x \))

Таким образом, для двух точек нам нужно:

1. \( m = 12.25 \) (вершина второй параболы)

2. \( m = -6.25 \) (вершина первой параболы)

3. \( m < 0 \) (ниже оси X, пересекает обе ветви)

4. \( 0 < m < 12.25 \) (между вершиной второй параболы и началом координат)

Объединяем: \( m = 12.25 \) или \( m = -6.25 \) или \( m < 0 \) или \( 0 < m < 12.25 \).

С учетом того, что \( y=m \) должна иметь ровно две точки, нам подходят следующие значения \( m \):

• \( m = 12.25 \) (вершина \( y=-x^2-7x \))
• \( m = -6.25 \) (вершина \( y=x^2-5x \))
• \( m < -6.25 \) (нет пересечений)
• \( -6.25 < m < 0 \) (одна точка пересечения с \( y=x^2-5x \) и одна с \( y=-x^2-7x \) = 2 точки)
• \( m = 0 \) (две точки пересечения с \( y=-x^2-7x \))
• \( 0 < m < 12.25 \) (одна точка пересечения с \( y=-x^2-7x \) и одна с \( y=x^2-5x \) = 2 точки)

Правильные значения \( m \) для ровно двух точек:

\( m = 12.25 \)

\( m = -6.25 \)

\( m < 0 \) (при \( m<0 \), \( y=m \) пересекает \( y=x^2-5x \) в двух точках, и \( y=-x^2-7x \) в двух точках, но нам нужно всего 2 точки. Значит, \( m \) должно быть < -6.25 или \( -6.25 < m < 0 \))

\( 0 < m < 12.25 \)

Корни \( y=x^2-5x \) - 0 и 5. Корни \( y=-x^2-7x \) - 0 и -7.

При \( m = 12.25 \) — одна точка (вершина).

При \( m = -6.25 \) — одна точка (вершина).

При \( m > 12.25 \) — две точки.

При \( 0 < m < 12.25 \) — четыре точки.

При \( m = 0 \) — две точки (0 и -7).

При \( -6.25 < m < 0 \) — две точки.

При \( m = -6.25 \) — одна точка.

При \( m < -6.25 \) — ноль точек.

Таким образом, \( m \) должно быть больше \( 12.25 \), или равно \( 0 \), или в интервале \( (-6.25, 0) \) или \( (0, 12.25) \).

Верный ответ: \( m > 12.25 \) или \( m = 0 \) или \( m ∈ (-6.25, 0) \) или \( m ∈ (0, 12.25) \).

Ответ: \( m > 12.25 \) или \( m = 0 \) или \( m ∈ (-6.25, 0) \) или \( m ∈ (0, 12.25) \)