25. Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 18. Окружность радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Решение:

Пусть \( O \) — центр данной окружности, \( R = 12 \) — её радиус. Пусть \( M \) — середина основания \( AC \). Так как окружность касается \( AC \) в точке \( M \), то \( OM ⊥ AC \) и \( OM = R = 12 \).

Так как \( △ ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), то медиана \( BM \) является также высотой и биссектрисой. Значит, \( BM ⊥ AC \).

Так как \( OM ⊥ AC \) и \( BM ⊥ AC \), то точки \( B, M, O \) лежат на одной прямой (на прямой, перпендикулярной \( AC \) и проходящей через \( M \)).

Окружность касается продолжения боковых сторон \( AB \) и \( BC \). Пусть точки касания будут \( P \) на \( AB \) и \( Q \) на \( BC \) (при продолжении).

Отсюда следует, что \( OP ⊥ AB \) и \( OQ ⊥ BC \).

Рассмотрим \( △ OMC \). \( MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} · 18 = 9 \). \( OM = 12 \).

По теореме Пифагора, \( OC^2 = OM^2 + MC^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \). \( OC = √{225} = 15 \).

Так как \( O \) — центр окружности, касающейся продолжений боковых сторон \( AB \) и \( BC \), то \( O \) лежит на биссектрисе угла \( ∠ ABC \) (или его внешнего угла). Так как \( △ ABC \) равнобедренный, \( BM \) является биссектрисой \( ∠ ABC \). Значит, \( O \) лежит на прямой \( BM \).

Рассмотрим \( △ OQC \). Это прямоугольный треугольник, \( ∠ OQC = 90^\circ \). \( OC = 15 \), \( OQ = 12 \).

По теореме Пифагора, \( QC^2 = OC^2 - OQ^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81 \). \( QC = √{81} = 9 \).

Точка \( C \) находится на продолжении стороны \( BC \). Это означает, что \( Q \) лежит на продолжении \( BC \) за точкой \( C \) или \( C \) лежит на продолжении \( BQ \).

Так как окружность касается продолжения боковых сторон, то \( Q \) может лежать на продолжении \( BC \) за точкой \( C \).

В равнобедренном \( △ ABC \), \( BM \) — высота и медиана. \( BM = √{AB^2 - AM^2} \). \( AM = MC = 9 \). \( AB = BC \). \( AB^2 = BM^2 + 9^2 \).

Рассмотрим \( △ OMC ∼ △ BQC \) (если \( O, B, M \) collinear, and \( Q \) is on \( BC \)).

Подобные треугольники \( △ OQC \) и \( △ BMC \). Угол \( ∠ C \) общий. \( ∠ OQC = 90^\circ \), \( ∠ BMC = 90^\circ \). Значит, \( △ OQC ∼ △ BMC \).

Из подобия следует: \( \frac{OQ}{BM} = \frac{QC}{MC} = \frac{OC}{BC} \).

\( \frac{12}{BM} = \frac{9}{9} = \frac{15}{BC} \).

Отсюда \( \frac{12}{BM} = 1 \), значит \( BM = 12 \).

И \( \frac{15}{BC} = 1 \), значит \( BC = 15 \).

Так как \( AB = BC \), то \( AB = 15 \).

Теперь у нас есть треугольник \( △ ABC \) со сторонами \( AB=15, BC=15, AC=18 \) и высотой \( BM = 12 \).

Найдем радиус вписанной окружности \( r \).

Площадь \( S = \frac{1}{2} · AC · BM = \frac{1}{2} · 18 · 12 = 108 \).

Полупериметр \( p = \frac{AB+BC+AC}{2} = \frac{15+15+18}{2} = \frac{48}{2} = 24 \).

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{S}{p} = \frac{108}{24} \).

\( \frac{108}{24} = \frac{54}{12} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5 \).

Ответ: 4.5