22. Постройте график функции y = |x|(x + 1) − 6x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Запишем функцию по частям:

\(y=\begin{cases}-x^2-7x,&x<0,\\x^2-5x,&x\geq 0.\end{cases}\)

График функции:

На ветви при \(x<0\) парабола имеет максимум \(\dfrac{49}{4}\) при \(x=-\dfrac{7}{2}\). При \(m=\dfrac{49}{4}\) горизонтальная прямая касается этой ветви, а с ветвью при \(x\geq0\) пересекается ещё в одной точке.

На ветви при \(x\geq0\) парабола имеет минимум \(-\dfrac{25}{4}\) при \(x=\dfrac{5}{2}\). При \(m=-\dfrac{25}{4}\) прямая касается этой ветви, а с ветвью при \(x<0\) пересекается ещё в одной точке.

При остальных значениях \(m\) число пересечений не равно двум: между указанными уровнями получается три пересечения, а вне их — одно.

Ответ: \(m=-\dfrac{25}{4}\) или \(m=\dfrac{49}{4}\).