25. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 40 и 41, а основание BC равно 16. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Пусть \(AD=a\), высота трапеции равна \(h\). Введём координаты: \(A=(0,0)\), \(D=(a,0)\), \(B=(x,h)\), \(C=(x+16,h)\). Обозначим середину \(AB\) через \(M\); тогда \(M=(x/2,h/2)\).

Поскольку \(M\) лежит на биссектрисе угла \(ADC\), расстояния от неё до сторон угла \(DA\) и \(DC\) равны. Расстояние от \(M\) до прямой \(DA\) равно \(h/2\). Длина \(DC=41\), а расстояние от \(M\) до прямой \(DC\) равно \(\dfrac{h(a+16)}{82}\). Поэтому

\(\dfrac{h}{2}=\dfrac{h(a+16)}{82}\), откуда \(a+16=41\) и \(a=25\).

Теперь используем длины боковых сторон:

\(x^2+h^2=40^2\),

\((x+16-25)^2+h^2=41^2\), то есть \((x-9)^2+h^2=41^2\).

Вычтем первое равенство из второго: \((x-9)^2-x^2=81\), откуда \(x=0\). Тогда \(h=40\).

Площадь трапеции:

\(S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h=\dfrac{25+16}{2}\cdot40=820\).

Ответ: 820.