22. Постройте график функции y = 3x + 5 3x² + 5x Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Сначала упростим функцию:

\[ y = \frac{3x + 5}{3x^2 + 5x} = \frac{3x + 5}{x(3x + 5)} \]

Заметим, что знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $$x \neq 0$$ и $$3x+5 \neq 0$$, что означает $$x \neq -5/3$$. При этих условиях можно сократить дробь:

\[ y = \frac{1}{x} \]

Таким образом, график функции совпадает с графиком функции $$y = 1/x$$, но с выколотыми точками при $$x = 0$$ и $$x = -5/3$$.

Теперь определим, при каких значениях $$k$$ прямая $$y = kx$$ имеет с графиком $$y = 1/x$$ (с учетом выколотых точек) ровно одну общую точку.

Уравнение пересечения:

\[ kx = \frac{1}{x} \]

\[ kx^2 = 1 \]

\[ x^2 = \frac{1}{k} \]

Для того чтобы было одно решение, $$k$$ должно быть больше нуля ($$k > 0$$), тогда $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}}$$. Это дает два решения.

Однако, нам нужно учесть выколотые точки.

1. Если $$x = 0$$: прямая $$y=kx$$ проходит через начало координат $$(0,0)$$. График $$y=1/x$$ не проходит через $$(0,0)$$. Поэтому случай $$x=0$$ не дает решений.

2. Если $$x = -5/3$$: Подставим это значение в $$y=kx$$ и $$y=1/x$$.

Из $$y = 1/x$$, при $$x = -5/3$$, $$y = 1/(-5/3) = -3/5$$.

Из $$y = kx$$, при $$x = -5/3$$, $$y = k(-5/3)$$.

Для того чтобы прямая $$y=kx$$ проходила через выколотую точку $$(-5/3, -3/5)$$, должно выполняться:

\[ -3/5 = k(-5/3) \]

\[ k = (-3/5) · (-3/5) = 9/25 \]

В этом случае, когда $$k = 9/25$$, уравнение $$x^2 = 1/k$$ становится $$x^2 = 25/9$$, что дает $$x = ± 5/3$$. Одно из этих решений ($$x=-5/3$$) является выколотой точкой. Следовательно, остается только одно решение $$x=5/3$$.

Кроме того, если $$k=0$$, то $$y=0$$. Прямая $$y=0$$ не пересекается с $$y=1/x$$.

Таким образом, прямая $$y=kx$$ имеет ровно одну общую точку с графиком функции, когда $$k = 9/25$$.

Ответ: $$k = 9/25$$