23. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК=11, СК = 20.

Решение:

По условию, ABCD — параллелограмм. Следовательно, AD || BC.

AK — биссектриса угла A. Рассмотрим углы ∠DAK и ∠AKB. Так как AD || BC, эти углы являются накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC и секущей AK. Следовательно, \( \angle DAK = \angle AKB \).

По определению биссектрисы, \( \angle DAK = \angle KAB \).

Из равенства углов \( \angle DAK = \angle AKB \) и \( \angle DAK = \angle KAB \) следует, что \( \angle KAB = \angle AKB \).

В треугольнике ABK углы \( \angle KAB \) и \( \angle AKB \) равны. Это означает, что треугольник ABK — равнобедренный. Следовательно, AB = BK.

По условию, BK = 11. Значит, AB = 11.

Так как ABCD — параллелограмм, противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC.

BC = BK + KC = 11 + 20 = 31.

Значит, AD = 31.

CD = AB = 11.

Периметр параллелограмма ABCD равен сумме длин всех его сторон:

P = AB + BC + CD + AD = 11 + 31 + 11 + 31 = 84.

Ответ: 84.