23. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК = 7. CK = 12.

Решение:

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм. $$AK$$ — биссектриса угла $$A$$. $$K$$ лежит на $$BC$$.

По условию $$BK = 7$$ и $$CK = 12$$. Следовательно, длина стороны $$BC = BK + CK = 7 + 12 = 19$$.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AD = BC = 19$$ и $$AB = CD$$.

Поскольку $$AK$$ — биссектриса угла $$A$$, то $$\angle BAK = \angle KAD$$.

В параллелограмме $$AD ∥ BC$$, значит $$\angle DAK = \angle AKB$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$AK$$.

Таким образом, $$\angle BAK = \angle AKB$$. Треугольник $$ABK$$ является равнобедренным с основанием $$AK$$. Следовательно, $$AB = BK$$.

По условию $$BK = 7$$, значит $$AB = 7$$.

Стороны параллелограмма равны $$AB = 7$$ и $$BC = 19$$.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $$P = 2(a+b)$$, где $$a$$ и $$b$$ — длины смежных сторон.

\[ P = 2(AB + BC) = 2(7 + 19) = 2(26) = 52 \]

Ответ: 52