24. Точка Е - середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Решение:

Пусть $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$. $$E$$ — середина боковой стороны $$AB$$. Нужно доказать, что $$S_{ECD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$.

Проведем высоту трапеции $$h$$. Пусть $$AD = a$$ и $$BC = b$$.

Площадь трапеции $$S_{ABCD} = \frac{a+b}{2} · h$$.

Рассмотрим площадь треугольника $$ECD$$. Его основание — сторона $$CD$$. Для вычисления площади нам нужно найти высоту, опущенную из точки $$E$$ на прямую $$CD$$. Это сложный путь.

Воспользуемся другим подходом. Площадь треугольника $$ECD$$ равна площади трапеции минус площади треугольников $$ADE$$ и $$BCE$$.

$$S_{ADE}$$: Основание $$AD = a$$. Высота, опущенная из $$E$$ на $$AD$$. Так как $$E$$ — середина $$AB$$, то высота из $$E$$ на $$AD$$ будет равна половине высоты трапеции, то есть $$h/2$$. $$S_{ADE} = \frac{1}{2} · a · \frac{h}{2} = \frac{ah}{4}$$.

$$S_{BCE}$$: Основание $$BC = b$$. Высота, опущенная из $$E$$ на $$BC$$. Аналогично, высота из $$E$$ на $$BC$$ будет равна половине высоты трапеции, то есть $$h/2$$. $$S_{BCE} = \frac{1}{2} · b · \frac{h}{2} = \frac{bh}{4}$$.

Теперь найдем площадь треугольника $$ECD$$ как разность:

$$S_{ECD} = S_{ABCD} - S_{ADE} - S_{BCE} = \frac{a+b}{2} · h - \frac{ah}{4} - \frac{bh}{4}$$

$$S_{ECD} = \frac{2(a+b)h - ah - bh}{4} = \frac{2ah + 2bh - ah - bh}{4} = \frac{ah + bh}{4} = \frac{(a+b)h}{4}$$

Сравним $$S_{ECD}$$ с $$S_{ABCD}$$:

$$S_{ECD} = \frac{(a+b)h}{4}$$

$$S_{ABCD} = \frac{(a+b)h}{2}$$

Видим, что $$S_{ECD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$.

Доказано.