22 При каких значениях m вершины параболы y = x² + 4mx + 2ти y = -x² + 2mx + 4pac- положены по одну сторону от оси х?

Решение:

Для того чтобы вершины двух парабол были расположены по одну сторону от оси x, их y-координаты должны иметь одинаковый знак (обе положительные или обе отрицательные).

Найдем координаты вершин парабол.

1. Парабола 1: $$y = x^2 + 4mx + 2$$. Формула x-координаты вершины параболы $$y = ax^2 + bx + c$$ равна $$x_v = -\frac{b}{2a}$$.
• Здесь $$a=1$$, $$b=4m$$, $$c=2$$.
• $$x_{v1} = -\frac{4m}{2 \cdot 1} = -2m$$.
• Найдем y-координату вершины, подставив $$x_{v1}$$ в уравнение параболы:
• $$y_{v1} = (-2m)^2 + 4m(-2m) + 2 = 4m^2 - 8m^2 + 2 = -4m^2 + 2$$.
2. Парабола 2: $$y = -x^2 + 2mx + 4$$.
• Здесь $$a=-1$$, $$b=2m$$, $$c=4$$.
• $$x_{v2} = -\frac{2m}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2m}{-2} = m$$.
• Найдем y-координату вершины:
• $$y_{v2} = -(m)^2 + 2m(m) + 4 = -m^2 + 2m^2 + 4 = m^2 + 4$$.
3. Условие расположения вершин по одну сторону от оси x: $$y_{v1}$$ и $$y_{v2}$$ должны быть либо обе положительными, либо обе отрицательными.
• Случай 1: Обе y-координаты положительны.
• $$-4m^2 + 2 > 0 \rightarrow 4m^2 < 2 \rightarrow m^2 < \frac{1}{2} \rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} < m < \frac{1}{\sqrt{2}}$$.
• $$m^2 + 4 > 0$$. Это неравенство выполняется для любого действительного $$m$$, так как $$m^2
  less 0$$.
• Объединяя условия: $$-\frac{1}{\sqrt{2}} < m < \frac{1}{\sqrt{2}}$$.
• Случай 2: Обе y-координаты отрицательны.
• $$-4m^2 + 2 < 0 \rightarrow 4m^2 > 2 \rightarrow m^2 > \frac{1}{2} \rightarrow m < -\frac{1}{\sqrt{2}}$$ или $$m > \frac{1}{\sqrt{2}}$$.
• $$m^2 + 4 < 0$$. Это неравенство не имеет решений, так как $$m^2
  less 0$$, и $$m^2+4$$ всегда больше 0.
• Случай 3: Одна из y-координат равна 0.
• Если $$y_{v1} = 0$$, то $$-4m^2 + 2 = 0 \rightarrow m^2 = \frac{1}{2} \rightarrow m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$. В этом случае $$y_{v2} = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 4 = \frac{1}{2} + 4 = 4.5 > 0$$. Вершины по разные стороны.
• Если $$y_{v2} = 0$$, то $$m^2 + 4 = 0$$. Нет решений.

Таким образом, условие выполняется, когда обе y-координаты положительны.

Ответ: $$m < -\frac{1}{\sqrt{2}}$$ или $$m > \frac{1}{\sqrt{2}}$$