22. При каком значении р прямая у = х + р имеет с параболой у = х^2 – 3х ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении р.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Чтобы найти точки пересечения прямой y = x + p и параболы y = x² – 3x, приравняем их:
• x² – 3x = x + p
2. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
• x² – 3x - x - p = 0
• x² – 4x - p = 0
3. Для того чтобы прямая имела ровно одну общую точку с параболой (т.е. касалась её), дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю: D = 0.
4. Формула дискриминанта: D = b² - 4ac. В нашем уравнении a = 1, b = -4, c = -p.
5. D = (-4)² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-p) = 16 + 4p.
6. Приравниваем дискриминант к нулю: 16 + 4p = 0.
7. 4p = -16.
8. p = -4.
9. Теперь найдем координаты точки касания. Для этого подставим p = -4 в уравнение x² – 4x - p = 0:
• x² – 4x - (-4) = 0
• x² – 4x + 4 = 0
10. Это квадратное уравнение можно решить, найдя корень: (x - 2)² = 0.
11. Отсюда x = 2.
12. Теперь найдем y, подставив x = 2 в уравнение прямой y = x + p:
• y = 2 + (-4) = -2.
13. Координаты точки касания: (2, -2).

Ответ: p = -4, точка касания (2, -2).