25. Стороны АС, АВ, ВС треугольника АВС равны 2√2, √5, и 1 соответственно. Точка К расположена вне треугольника АВС, причем отрезок КС пересекает сторону АВ в точке, отличной от В. Известно, что треугольник с вершинами К, А и с подобен исходному. Найдите косинус угла АКС, если ∠KAC > 90°.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Дан треугольник ABC со сторонами AC = 2√2, AB = √5, BC = 1.
2. Треугольник KAC подобен треугольнику ABC. Углы, соответствующие друг другу при подобном расположении вершин, равны.
3. Возможны два варианта подобия:
• Вариант 1: ∠KAC = ∠BAC, ∠ACK = ∠BCA, ∠CKA = ∠CBA.
• Вариант 2: ∠KAC = ∠BCA, ∠ACK = ∠BAC, ∠CKA = ∠CBA.
4. Из условия ∠KAC > 90°.
5. Найдем косинус угла ∠BAC, используя теорему косинусов для треугольника ABC:
• BC² = AB² + AC² - 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos(∠BAC)
• 1² = (√5)² + (2√2)² - 2 ⋅ √5 ⋅ 2√2 ⋅ cos(∠BAC)
• 1 = 5 + 8 - 4√10 ⋅ cos(∠BAC)
• 1 = 13 - 4√10 ⋅ cos(∠BAC)
• 4√10 ⋅ cos(∠BAC) = 12
• cos(∠BAC) = 12 / (4√10) = 3 / √10 = 3√10 / 10.
6. Поскольку cos(∠BAC) > 0, то ∠BAC < 90°.
7. Это исключает вариант 1 подобия, где ∠KAC = ∠BAC, так как по условию ∠KAC > 90°.
8. Следовательно, верен вариант 2 подобия: ∠KAC = ∠BCA, ∠ACK = ∠BAC, ∠CKA = ∠CBA.
9. Нам нужно найти cos(∠AKC). Из подобия треугольников, ∠AKC = ∠ABC.
10. Найдем cos(∠ABC) используя теорему косинусов для треугольника ABC:
• AC² = AB² + BC² - 2 ⋅ AB ⋅ BC ⋅ cos(∠ABC)
• (2√2)² = (√5)² + 1² - 2 ⋅ √5 ⋅ 1 ⋅ cos(∠ABC)
• 8 = 5 + 1 - 2√5 ⋅ cos(∠ABC)
• 8 = 6 - 2√5 ⋅ cos(∠ABC)
• 2√5 ⋅ cos(∠ABC) = 6 - 8 = -2
• cos(∠ABC) = -2 / (2√5) = -1 / √5 = -√5 / 5.
11. Поскольку cos(∠ABC) < 0, то ∠ABC > 90°.
12. Это подтверждает, что ∠CKA = ∠CBA > 90°, и точка K расположена вне треугольника так, что ∠KAC = ∠BCA < 90°.
13. Таким образом, cos(∠AKC) = cos(∠ABC) = -√5 / 5.

Ответ: -√5 / 5