223. Найдите в данных примерах ошибки и исправьте их: 1) a¹ · a³ = a¹²; 2) a · a = 2a; 3) (a³)² = a⁹; 4) 3² · 5² = 15¹; 5) 2² · 7³ = 14⁵; 6) (2a)¹ = 8a¹; 7) 3 · 4³ = 12³; 8) a³b⁷ = (ab)¹¹; 9) a³b² = (ab)⁶.

Проверяем по свойствам степеней: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\), \(a^n b^n=(ab)^n\). Для разных оснований показатели можно объединить по последнему правилу только тогда, когда они одинаковы.

1. Ошибка: показатели при умножении одинаковых оснований нужно сложить. Исправление: \(a^1\cdot a^3=a^4\).
2. Ошибка: при умножении одинаковых оснований показатели складываются. Исправление: \(a\cdot a=a^2\).
3. Ошибка: при возведении степени в степень показатели перемножаются. Исправление: \((a^3)^2=a^6\).
4. Ошибка: показатели слева одинаковы, поэтому \(3^2\cdot5^2=(3\cdot5)^2=15^2\).
5. Ошибка: показатели оснований различны, поэтому их нельзя объединить в одну степень. Исправление: \(2^2\cdot7^3=4\cdot343=1372\).
6. Ошибка: первая степень числа не меняет его. Исправление: \((2a)^1=2a\).
7. Ошибка: множитель 3 не возведён в третью степень. Исправление: \(3\cdot4^3=3\cdot64=192\).
8. Ошибка: показатели при основаниях \(a\) и \(b\) должны совпадать, чтобы объединить их в степень произведения. Исправление: \(a^3b^7\) нельзя представить как \((ab)^{11}\); выражение остаётся \(a^3b^7\).
9. Ошибка: \((ab)^6=a^6b^6\), а не \(a^3b^2\). Исправление: \(a^3b^2\) нельзя объединить в одну степень произведения; выражение остаётся \(a^3b^2\).