23.7*. Докажите, что у выпуклого шестиугольника с равными углами попарно параллельны стороны.

Сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника равна \(720^\circ\). Поэтому каждый угол равен \(720^\circ:6=120^\circ\).

Каждая пара соседних сторон образует внутренние односторонние углы в сумме \(120^\circ+120^\circ=240^\circ\), но для параллельности нужны углы, сумма которых равна \(180^\circ\). Рассмотрим стороны через одну: направление каждой следующей стороны поворачивается на внешний угол \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Через три таких поворота направление меняется на \(3\cdot60^\circ=180^\circ\), значит, стороны, отстоящие на три стороны, параллельны.

Ответ: противоположные стороны шестиугольника попарно параллельны.