23. (МГУ, физический ф-т, 2004) Решите систему неравенств $-2<\frac{2}{x^2-x-2}<-1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 23. (МГУ, физический ф-т, 2004) Решите систему неравенств $-2<\frac{2}{x^2-x-2}<-1$.$ Фото задания

23. (МГУ, физический ф-т, 2004) Решите систему неравенств $-2<\frac{2}{x^2-x-2}<-1$.

Accepted Answer

Обозначим $D=x^2-x-2$. Из двойного неравенства следует, что дробь отрицательна, поэтому $D<0$. Положим $u=-D>0$. Тогда $-2<-\frac2u<-1$, то есть $1<\frac2u<2$, откуда $1<u<2$. Следовательно, $-2<D<-1$.

Подставим выражение для $D$:

\[ -2<x^2-x-2<-1\quad\Longleftrightarrow\quad 0<x^2-x<1.\]

Условие $x^2-x>0$ выполняется при $x<0$ или $x>1$. Условие $x^2-x<1$ выполняется между корнями уравнения $x^2-x-1=0$, то есть между $\frac{1-\sqrt5}{2}$ и $\frac{1+\sqrt5}{2}$. Пересекаем промежутки.

Ответ: $\left(\frac{1-\sqrt5}{2},0\right)\cup\left(1,\frac{1+\sqrt5}{2}\right)$.

23. (МГУ, физический ф-т, 2004) Решите систему неравенств \(-2&lt;\frac{2}{x^2-x-2}&lt;-1\).

Ответ:

23. (МГУ, физический ф-т, 2004) Решите систему неравенств \(-2<\frac{2}{x^2-x-2}<-1\).