24. (МГУ, ВМК, 2004) Решите неравенство \(\frac{1}{x^2-5x+7}\leq5x-x^2-5\).

Знаменатель всегда положителен: дискриминант квадратного трёхчлена \(x^2-5x+7\) равен \(25-28=-3<0\), а старший коэффициент положителен. Обозначим \(y=x^2-5x\). Тогда неравенство принимает вид \(\frac1{y+7}\leq-y-5\). Умножаем на положительное \(y+7\):

\[1\leq-(y+5)(y+7)\quad\Longleftrightarrow\quad(y+5)(y+7)+1\leq0\quad\Longleftrightarrow\quad(y+6)^2\leq0.\]

Квадрат неотрицателен, поэтому возможно только \(y=-6\). Тогда \(x^2-5x+6=0\), откуда \((x-2)(x-3)=0\).

Ответ: \(x=2\) или \(x=3\).