23. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 13, а одна из диагоналей ромба равна 52. Найдите углы ромба.

Расстояние от центра ромба до стороны — его радиус вписанной окружности, равный 13. Пусть половины диагоналей равны \(p\) и \(q\). Площадь ромба равна \(2pq\), а сторона — \(\sqrt{p^2+q^2}\). Поэтому радиус вписанной окружности равен \(\frac{pq}{\sqrt{p^2+q^2}}\).

Одна диагональ равна 52, значит, одна из половин диагоналей равна 26. Подставляем:

\[\frac{26q}{\sqrt{26^2+q^2}}=13.\]

Отсюда \(2q=\sqrt{676+q^2}\), следовательно, \(3q^2=676\) и \(q=\frac{26}{\sqrt3}\).

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам. Поэтому тангенс половины острого угла равен отношению половин диагоналей: \(\frac{q}{26}=\frac1{\sqrt3}\). Половина острого угла равна 30°, а сам острый угол — 60°. Смежный с ним угол равен 120°.

Ответ: 60° и 120°.