24. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $N$, лежащей на стороне $CD$. Докажите, что $N$ — середина $CD$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 24. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $N$, лежащей на стороне $CD$. Докажите,…$ Фото задания

24. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $N$, лежащей на стороне $CD$. Докажите, что $N$ — середина $CD$.

Accepted Answer

Так как $AB\parallel CD$, а $N\in CD$, имеем $AN\parallel CD$ и $BN\parallel CD$ не обязательно; используем угловые свойства: в параллелограмме соседние углы дополнительны, поэтому их биссектрисы перпендикулярны. Следовательно, $\angle ANB=90°$.

В треугольнике $ABN$ углы при $A$ и $B$ равны половинам соседних углов параллелограмма, значит, они в сумме составляют 90°. Поскольку угол при $N$ также равен 90°, эти два угла равны по 45°. Следовательно, $AN=BN$.

Пусть $M$ — середина $CD$. В параллелограмме отрезок, соединяющий середины параллельных сторон $AB\$ и $CD$, имеет направление стороны $AD$; однако для заключения о точке $N$ проще применить координаты: положим $A=(0,0), B=(b,0), D=(u,v), C=(b+u,v)$. Биссектриса угла $A$ имеет направление $(1,0)+\frac{(u,v)}{\sqrt{u^2+v^2}}$, а биссектриса угла $B$ — направление $(-1,0)+\frac{(u,v)}{\sqrt{u^2+v^2}}$. Их пересечение с прямой $CD\, (y=v)$ имеет абсциссу $u+\frac b2$, то есть является серединой отрезка с концами $D=(u,v)$ и $C=(b+u,v)$.

Значит, $ND=NC$, и точка $N$ — середина $CD$.

24. Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(N\), лежащей на стороне \(CD\). Докажите, что \(N\) — середина \(CD\).

Ответ: