23. Тип 8. Найдите значение выражения \(4\sqrt{3}\cos^2\frac{23\pi}{12}-4\sqrt{3}\sin^2\frac{23\pi}{12}\).

Вынесем общий множитель и применим тождество \(\cos^2a-\sin^2a=\cos2a\): \(4\sqrt{3}\left(\cos^2\frac{23\pi}{12}-\sin^2\frac{23\pi}{12}\right)=4\sqrt{3}\cos\frac{23\pi}{6}\).

Поскольку \(\frac{23\pi}{6}=2\pi+\frac{11\pi}{6}\), получаем \(\cos\frac{23\pi}{6}=\cos\frac{11\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Следовательно, значение выражения равно \(4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\).

Ответ: 6.