23 Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 67° и 83°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 16.

Дано:

• \[ \angle B = 67^{\circ} \]
• \[ \angle C = 83^{\circ} \]
• R (радиус описанной окружности) = 16

Найти:

• BC

Решение:

1. Найдем угол A треугольника ABC.
   Сумма углов в треугольнике равна 180°:
   \[ \angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C \]
   \[ \angle A = 180^{\circ} - 67^{\circ} - 83^{\circ} \]
   \[ \angle A = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \]
2. Воспользуемся теоремой синусов.
   Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:
   \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]
3. Нам нужно найти сторону BC, которую обозначим как 'a'.
   \[ \frac{BC}{\sin A} = 2R \]
4. Подставим известные значения:
   \[ \frac{BC}{\sin 30^{\circ}} = 2 \times 16 \]
   \[ \frac{BC}{0.5} = 32 \]
5. Вычислим BC:
   \[ BC = 32 \times 0.5 \]
   \[ BC = 16 \]

Ответ: BC = 16.