24. а) Периметр параллелограмма ABCD равен 36 см, периметр треугольника ABC равен 28 см, ∠ACB = 30°. Найдите: 1) отрезок AC; 2) высоту CK, опущенную на сторону AD. б) Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна стороне AB, PABCD = 30 см, ∠ADC = 120°. Найдите стороны параллелограмма.

а)

1. Пусть стороны параллелограмма равны AB и BC. Тогда AB + BC = 36 : 2 = 18 см.
2. По условию треугольника ABC: AB + BC + AC = 28 см, поэтому AC = 28 - 18 = 10 см.
3. Так как высота CK перпендикулярна AD, а AD ∥ BC, то в прямоугольном треугольнике ACK: CK = AC · sin 30° = 10 · 0.5 = 5 см.

б) Пусть AB = x, AD = y. Угол между AD и AB равен 180° - 120° = 60°. Из условия BD ⟂ AB получаем y cos 60° = x, то есть y/2 = x и y = 2x.

По формуле периметра: 2(x+y)=30. Тогда 2(x+2x)=30, откуда x=5 см, y=10 см.

Ответ: а) 1) AC = 10 см; 2) CK = 5 см. б) AB = CD = 5 см, BC = AD = 10 см.