24. На средней линии трапеции KLMN с основаниями KN и LM выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников KLE и MEN равна сумме площадей треугольников LEM и KEN.

Обозначим высоту трапеции через \(h\), длины оснований \(KN=a\) и \(LM=b\). Средняя линия параллельна основаниям и находится на половине высоты.

1. Для треугольника \(KEN\) основание \(KN=a\), а высота из \(E\) равна \(h/2\). Поэтому \(S_{KEN}=ah/4\).

2. Для треугольника \(LEM\) основание \(LM=b\), а высота также равна \(h/2\). Поэтому \(S_{LEM}=bh/4\).

3. Пусть расстояния от точки \(E\) до прямых \(KL\) и \(MN\), измеренные вдоль средней линии, равны \(p\) и \(q\). Поскольку \(E\) лежит на средней линии между серединами боковых сторон, \(p+q=(a+b)/2\). Высоты треугольников \(KLE\) и \(MEN\), взятые к основаниям \(KL\) и \(MN\), приводят к равенствам \(S_{KLE}=hp/2\) и \(S_{MEN}=hq/2\).

Следовательно, \(S_{KLE}+S_{MEN}=h(p+q)/2=h(a+b)/4\). С другой стороны, \(S_{LEM}+S_{KEN}=bh/4+ah/4=h(a+b)/4\). Значит, суммы равны.

Доказано: \(S_{KLE}+S_{MEN}=S_{LEM}+S_{KEN}\).