24. Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма. Докажите, что ABCD — ромб.

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(A,O,C\) лежат на одной прямой, а \(B,O,D\) — на другой.

Точки \(A,O,D\) лежат на окружности с диаметром \(AD\). По теореме Фалеса \(\angle AOD=90^\circ\). Значит, диагонали \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны.

Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом: если его соседние стороны заданы векторами \(\vec u\) и \(\vec v\), то диагонали имеют направления \(\vec u+\vec v\) и \(\vec u-\vec v\). Их перпендикулярность даёт \((\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=|\vec u|^2-|\vec v|^2=0\), следовательно, соседние стороны равны. Значит, все стороны параллелограмма равны.

Следовательно, \(ABCD\) — ромб.