25. ABCD — прямоугольник площади 50 с большей стороной AD. Окружность касается сторон AB, BC, AD и пересекает диагональ AC в точках M и N, причём MN = 7. Найдите sin ∠CAD.

Введём координаты: \(A=(0,0)\), \(D=(L,0)\), \(B=(0,h)\), \(C=(L,h)\), где \(L>h>0\). Площадь прямоугольника даёт \(Lh=50\).

Окружность касается параллельных сторон \(AD\) и \(BC\), поэтому её радиус равен \(h/2\), а центр находится на расстоянии \(h/2\) от каждой из этих сторон. Так как она касается также \(AB\), центр имеет координаты \((h/2,h/2)\).

Точки диагонали \(AC\) можно записать как \((tL,th)\). Подстановка в уравнение окружности с центром \((h/2,h/2)\) и радиусом \(h/2\) даёт уравнение \(t^2(L^2+h^2)-th(L+h)+h^2/4=0\). Разность его корней равна \(h\sqrt{2Lh}/(L^2+h^2)\); значит, длина хорды \(MN\), полученная умножением на длину диагонали, равна \(h\sqrt{2Lh}/\sqrt{L^2+h^2}\).

Используя \(Lh=50\) и \(MN=7\), получаем \(7=10h/\sqrt{L^2+h^2}\). Но \(\sin\angle CAD=h/\sqrt{L^2+h^2}\).

Ответ: \(\sin\angle CAD=\frac{7}{10}\).